ตอนที่ 2: เจ้าเมืองจอมขี้เกียจ - ประวัติรุ่นแก้ไข

Parinya: /* Lower bound */

2006-11-28T09:49:01Z

Lower bound

Parinya: /* Lower bound */

2006-11-28T09:48:38Z

Lower bound

Parinya: /* Lower bound */

2006-11-28T09:47:45Z

Lower bound

Parinya: /* Lower bound */

2006-11-28T09:47:03Z

Lower bound

Parinya เมื่อ 09:04, 28 พฤศจิกายน 2549

2006-11-28T09:04:45Z

Parinya เมื่อ 08:58, 28 พฤศจิกายน 2549

2006-11-28T08:58:37Z

Parinya: /* วิธีทำ */

2006-11-28T08:55:18Z

วิธีทำ

Parinya เมื่อ 08:50, 28 พฤศจิกายน 2549

2006-11-28T08:50:57Z

Parinya: /* วิธีทำ */

2006-11-25T03:48:56Z

วิธีทำ

Parinya: /* วิธีทำ */

2006-11-25T03:40:00Z

วิธีทำ

@@ แถว 62: / แถว 62: @@
 วิธีนี้สั้นอย่างมาก และผู้เขียนเองก็คงไม่สามารถค้นพบวิธีนี้ได้ด้วยตนเอง ก่อนอื่น ลองพยายามวางจุดลงไปใน <math> R^{n+1}</math> จะเห็นว่า เราวางจุดต่อไปนี้ลงไปได้
-:: <math>P= \{v \in \{0,1\}^{n+1}: \sum_{i=1}^{n} v_i = 2\} </math>
+:: <math>P= \{v \in \{0,1\}^{n+1}: \sum_{i=1}^{n+1} v_i = 2\} </math>
 พูดเป็นภาษามนุึษย์ก็คือ P เป็นเซ็ตของจุดที่มี 1 อยู่สองตำแหน่ง ที่เหลือเป็น 0

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 09:48, 28 พฤศจิกายน 2549
แถว 63:		แถว 63:

	:: <math>P= \{v \in \{0,1\}^{n+1}: \sum_{i=1}^{n} v_i = 2\} </math>		:: <math>P= \{v \in \{0,1\}^{n+1}: \sum_{i=1}^{n} v_i = 2\} </math>
		+
		+	พูดเป็นภาษามนุึษย์ก็คือ P เป็นเซ็ตของจุดที่มี 1 อยู่สองตำแหน่ง ที่เหลือเป็น 0

	จะเห็นว่าระยะทางระหว่างคู่จุดใน P เป็น 2 หรือ <math> \sqrt{2} </math> เท่านั้น แต่ยังติดปัญหาอย่างหนึ่งคือ จุดเหล่านี้อยู่ใน <math> R^{n+1} </math> ไม่ใช่ <math> R^{n} </math> ปัญหานี้จะหายไปทันที ด้วยข้อสังเกตว่าจุดเหล่านี้อยู่บน hyperplane <math> \sum_{i=1}^{n+1} x_i = 2 </math> ดังนั้นมิติของเซ็ต P จึงไม่เกิน n ทำให้เซ็ต P สามารถมองว่าเป็นจุดบน <math> R^n </math> ได้		จะเห็นว่าระยะทางระหว่างคู่จุดใน P เป็น 2 หรือ <math> \sqrt{2} </math> เท่านั้น แต่ยังติดปัญหาอย่างหนึ่งคือ จุดเหล่านี้อยู่ใน <math> R^{n+1} </math> ไม่ใช่ <math> R^{n} </math> ปัญหานี้จะหายไปทันที ด้วยข้อสังเกตว่าจุดเหล่านี้อยู่บน hyperplane <math> \sum_{i=1}^{n+1} x_i = 2 </math> ดังนั้นมิติของเซ็ต P จึงไม่เกิน n ทำให้เซ็ต P สามารถมองว่าเป็นจุดบน <math> R^n </math> ได้

@@ แถว 62: / แถว 62: @@
 วิธีนี้สั้นอย่างมาก และผู้เขียนเองก็คงไม่สามารถค้นพบวิธีนี้ได้ด้วยตนเอง ก่อนอื่น ลองพยายามวางจุดลงไปใน <math> R^{n+1}</math> จะเห็นว่า เราวางจุดต่อไปนี้ลงไปได้
-:: <math>P= \{v \in \{0,1\}^{n+1}: v \mbox{ มีเลข 1 ปรากฎอยู่สองครั้ง } \} </math>
+:: <math>P= \{v \in \{0,1\}^{n+1}: \sum_{i=1}^{n} v_i = 2\} </math>
 จะเห็นว่าระยะทางระหว่างคู่จุดใน P เป็น 2 หรือ <math> \sqrt{2} </math> เท่านั้น แต่ยังติดปัญหาอย่างหนึ่งคือ จุดเหล่านี้อยู่ใน <math> R^{n+1} </math> ไม่ใช่ <math> R^{n} </math> ปัญหานี้จะหายไปทันที ด้วยข้อสังเกตว่าจุดเหล่านี้อยู่บน hyperplane <math> \sum_{i=1}^{n+1} x_i = 2 </math> ดังนั้นมิติของเซ็ต P จึงไม่เกิน n ทำให้เซ็ต P สามารถมองว่าเป็นจุดบน <math> R^n </math> ได้

@@ แถว 58: / แถว 58: @@
 == Lower bound ==
 เราได้เห็นกันแล้วว่าเราวางจุดลงไปได้ไม่มากนัก คราวนี้ลองมาดูกันบ้างว่าเราสามารถวางจุดลงไปได้อย่างน้อยกี่จุด เราจะได้มาเห็นวิธีคิดแบบไม่ยากนักที่ทำให้วางจุดลงไปได้ <math> {n+1 \choose 2}</math> จุด
 == โจทย์คิดเล่น ==

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 09:04, 28 พฤศจิกายน 2549
แถว 61:		แถว 61:

	== โจทย์คิดเล่น ==		== โจทย์คิดเล่น ==
		+
		+	# ให้แสดงว่าปัญหาของเจ้าเมืองดนุพลกับนักคณิตศาสตร์สามารถวางจุดลงไปได้ 5 จุด และไม่สามารถวางได้มากกว่า 5
		+	# พิสูจน์ว่าปัญหาของระยะทางแบบเดียว ไม่สามารถวางจุดได้มากกว่า n+1

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 08:58, 28 พฤศจิกายน 2549
แถว 55:		แถว 55:
	:: <math> 1+ n+ n(n+1)/2 + n +1 = \frac{(n+1)(n+4)}{2} </math>		:: <math> 1+ n+ n(n+1)/2 + n +1 = \frac{(n+1)(n+4)}{2} </math>
	ตำแหน่ง		ตำแหน่ง
		+
		+	== Lower bound ==
		+
		+	เราได้เห็นกันแล้วว่าเราวางจุดลงไปได้ไม่มากนัก คราวนี้ลองมาดูกันบ้างว่าเราสามารถวางจุดลงไปได้อย่างน้อยกี่จุด เราจะได้มาเห็นวิธีคิดแบบไม่ยากนักที่ทำให้วางจุดลงไปได้ <math> {n+1 \choose 2}</math> จุด
		+
		+	== โจทย์คิดเล่น ==

@@ แถว 50: / แถว 50: @@
 เราลองมาหาค่า dimension ของ V กัน จะตรวจสอบได้ไม่ยากว่าพหุนามในเซ็ต V จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้
-::<math> (\sum_{j=1}^{n} x^2_j)^2  + \sum_{j=1}^{n} a_j x_j (\sum_{i=1}^{n} x^2_i) + \sum_{j=1}^{n} b_j x_j + c </math>
+::<math> (\sum_{j=1}^{n} x^2_j)^2  + \sum_{j=1}^{n} a_j x_j (\sum_{i=1}^{n} x^2_i) + \sum_{i,j=1}^{n} b_{ij} x_i x_j + \sum_{j=1}^{n} c_j x_j + d </math>
-สัมประสิทธ์ที่ไม่เป็นศูนย์ของพหุนามใน V มีได้มากที่สุดไม่เกิน <math> </math>
+สัมประสิทธ์ที่ไม่เป็นศูนย์ของพหุนามใน V มีได้มากที่สุดไม่เกิน

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 08:50, 28 พฤศจิกายน 2549
แถว 44:		แถว 44:
	:: <math> m \le dim(V) </math>		:: <math> m \le dim(V) </math>

−	เมื่อ V=	+	เมื่อ V เป็นเซ็ตของพหุนามที่เป็นไปได้ทั้งหมด
		+
		+	:: <math> V= \{F(x,y): y \in R^n\}</math>
		+
		+	เราลองมาหาค่า dimension ของ V กัน จะตรวจสอบได้ไม่ยากว่าพหุนามในเซ็ต V จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้
		+
		+	::<math> (\sum_{j=1}^{n} x^2_j)^2 + \sum_{j=1}^{n} a_j x_j (\sum_{i=1}^{n} x^2_i) + \sum_{j=1}^{n} b_j x_j + c </math>
		+
		+	สัมประสิทธ์ที่ไม่เป็นศูนย์ของพหุนามใน V มีได้มากที่สุดไม่เกิน <math> </math>

@@ แถว 38: / แถว 38: @@
 :: <math> f_i = F(x, a_i) </math>
-ให้มองพหุนาม <math>f_i</math> ในรูปแบบของเว็กเตอร์ (สำหรับคนที่ไม่คุ้นเคยกับแนวคิดแบบนี้ ตัวอย่างการมองพหุนามในแบบของเว็กเตอร์คือ การมอง <math>1+x+2x^3</math> ในรูปของ <math>(1,1,0,2)</math>)  ก่อนอื่นเราจะพิสูจน์ว่า <math>f_1, f_2, \ldots, f_m</math> เป็นเว็กเตอร์ที่ไม่ขึ้นต่อกัน
+ให้มองพหุนาม <math>f_i</math> ในรูปแบบของเว็กเตอร์ (สำหรับคนที่ไม่คุ้นเคยกับแนวคิดแบบนี้ ตัวอย่างการมองพหุนามในแบบของเว็กเตอร์คือ การมอง <math>1+x+2x^3</math> ในรูปของ <math>(1,1,0,2)</math>)  ก่อนอื่นเราจะให้ผู้่อ่านเชื่อไปก่อนว่า <math>f_1, f_2, \ldots, f_m</math> เป็นเว็กเตอร์ที่ไม่ขึ้นต่อกันเชิงเส้น แล้วเราจะกลับมาพิสูจน์ข้อความนี้ทีหลัง
-'''(เดี๋ยวว่างแล้วมาเขียนต่อ)
+สังเกตว่าหากเรามีจุดที่อยู่ในปริภูมิทั้งหมด m จุด เราสามารถสร้างเวกเตอร์ที่ไม่ขึ้นต่อกันเชิงเส้นได้ m เวกเตอร์ ดังนั้นเราจะได้ว่า
-'''