เฉลย - ประวัติรุ่นแก้ไข

Cardcaptor: /* ข้อ 10 */

2009-07-09T20:06:24Z

ข้อ 10

Cardcaptor: /* ข้อ 9 */

2009-07-09T20:05:56Z

ข้อ 9

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 8 */

2009-07-09T19:28:58Z

ข้อย่อย 8

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 7 */

2009-07-09T19:01:02Z

ข้อย่อย 7

Cardcaptor: /* พิสูจน์ (โจทย์) */

2009-07-09T18:39:17Z

พิสูจน์ (โจทย์)

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 7 */

2009-07-09T18:39:04Z

ข้อย่อย 7

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 6 */

2009-07-09T18:38:36Z

ข้อย่อย 6

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 5 */

2009-07-09T18:20:56Z

ข้อย่อย 5

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 4 */

2009-07-09T18:08:07Z

ข้อย่อย 4

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 3 */

2009-07-09T17:52:33Z

ข้อย่อย 3

@@ แถว 220: / แถว 220: @@
 <table cellpadding="5">
 <tr>
-<td align="right"><math>\sqrt{n+2} + \sqrt{n+2}</math></td>
+<td align="right"><math>\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}</math></td>
 <td align="center"><math> > \,</math></td>
 <td align="left"><math>2\sqrt{n+1}</math></td>

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 20:05, 9 กรกฎาคม 2552
แถว 212:		แถว 212:

	ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่า 21 หาร <math>4^{n+1} + 5^{2n-1}</math> ลงตัวสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน		ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่า 21 หาร <math>4^{n+1} + 5^{2n-1}</math> ลงตัวสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน
		+
		+	== ข้อ 10 ==
		+	'''lemma:''' สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ <math>2\sqrt{n+1} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > 2\sqrt{n+2}</math>
		+
		+	''พิสูจน์ (lemma):'' เราได้ว่า
		+
		+	<table cellpadding="5">
		+	<tr>
		+	<td align="right"><math>\sqrt{n+2} + \sqrt{n+2}</math></td>
		+	<td align="center"><math> > \,</math></td>
		+	<td align="left"><math>2\sqrt{n+1}</math></td>
		+	</tr>
		+	<tr>
		+	<td align="right"><math>(\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}) \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}}</math></td>
		+	<td align="center"><math> > \,</math></td>
		+	<td align="left"><math>2\sqrt{n+1}</math></td>
		+	</tr>
		+	<tr>
		+	<td align="right"><math>\frac{1}{\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}}</math></td>
		+	<td align="center"><math> > \,</math></td>
		+	<td align="left"><math>2\sqrt{n+1}</math></td>
		+	</tr>
		+	<tr>
		+	<td align="right"><math>\frac{1}{\sqrt{n+1}}</math></td>
		+	<td align="center"><math> > \,</math></td>
		+	<td align="left"><math>2\sqrt{n+2} - 2\sqrt{n+1}</math></td>
		+	</tr>
		+	<tr>
		+	<td align="right"><math>2\sqrt{n+1} + \frac{1}{\sqrt{n+1}}</math></td>
		+	<td align="center"><math> > \,</math></td>
		+	<td align="left"><math>2\sqrt{n+2}</math></td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+
		+
		+	=== พิสูจน์ (โจทย์) ===
		+	(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 เราได้ว่า <math>1 > 0.82842712474619029\dotsb = 2(\sqrt{1+1} - 1)\,</math>
		+
		+	(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้อสมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า
		+
		+	<math>1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \dotsb + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > 2(\sqrt{n+1} - 1) + \frac{1}{\sqrt{n+1}} = 2\sqrt{n+1} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} - 2 > 2\sqrt{n+2} - 2 = 2(\sqrt{n+2} - 1)</math>
		+
		+	ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าอสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกตัว

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 19:28, 9 กรกฎาคม 2552
แถว 201:		แถว 201:

	ดังนั้นเราสรุปได้ว่าสมการเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน		ดังนั้นเราสรุปได้ว่าสมการเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน
		+
		+	== ข้อ 9 ==
		+	(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราได้ว่า <math>4^{1+1} + 5^{2\cdot 1 - 1} = 16 + 5 = 21</math> ซึ่งหารด้วย 21 ลงตัว
		+
		+	(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้ <math>4^{n+1} + 5^{2n-1}</math> หารด้วย 21 ลงตัว
		+
		+	เราได้ว่า <math>4^{n+2} + 5^{2n+1} = 4 \cdot 4^{n+1} + 25 \cdot 5^{2n-1} = (25 - 21) 4^{n+1} + 25 \cdot 5^{2n-1} = 25 (4^{n+1} + 5^{2n-1}) + 21 \cdot 4^{n+1}</math>
		+
		+	จากสมมติฐาน เราได้ว่า 21 หาร <math>4^{n+1} + 5^{2n-1}</math> ลงตัว ดังนั้นมันจึงหาร <math>25(4^{n+1} + 5^{2n-1})</math> ลงตัว และเนื่องจาก 21 หาร <math>21 \cdot 4^{n+1}</math> ลงตัว เราจึงได้ว่า 21 หาร <math>25 (4^{n+1} + 5^{2n-1}) + 21 \cdot 4^{n+1} = 4^{n+2} + 5^{2n+1}</math>
		+
		+	ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่า 21 หาร <math>4^{n+1} + 5^{2n-1}</math> ลงตัวสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 19:01, 9 กรกฎาคม 2552
แถว 171:		แถว 171:

	ฉะนั้นเราจึงสรุปได้ว่าข้อความในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกค่า		ฉะนั้นเราจึงสรุปได้ว่าข้อความในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกค่า
		+
		+	== ข้อย่อย 8 ==
		+	(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราจะได้ว่า <math>1 \cdot 2^{1-1} = 1 = (1-1)2^1 + 1</math>
		+
		+	(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง ได้ว่า
		+
		+	<table>
		+	<tr>
		+	<td align="right"><math>1 \cdot 2^0 + 2 \cdot 2^1 + \dotsb + (n+1) \cdot 2^n \,</math></td>
		+	<td align="center"><math>= \,</math></td>
		+	<td align="left"><math>(1 \cdot 2^0 + 2 \cdot 2^1 + \dotsb + n \cdot 2^{n-1}) + (n+1) \cdot 2^n \,</math></td>
		+	</tr>
		+	<tr>
		+	<td align="right"></td>
		+	<td align="center"><math>= \,</math></td>
		+	<td align="left"><math>(n-1)2^n + 1 + (n+1) \cdot 2^n \,</math></td>
		+	</tr>
		+	<tr>
		+	<td align="right"></td>
		+	<td align="center"><math>= \,</math></td>
		+	<td align="left"><math>(2n) \cdot 2^n + 1 \,</math></td>
		+	</tr>
		+	<tr>
		+	<td align="right"></td>
		+	<td align="center"><math>= \,</math></td>
		+	<td align="left"><math>n \cdot 2^{n+1} + 1 \,</math></td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+
		+	ดังนั้นเราสรุปได้ว่าสมการเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

@@ แถว 160: / แถว 160: @@
 เนื่องจาก x เป็นค่าใดๆ เราจึงสามารถสรุปได้ว่า <math>\forall x, [ x \in A \cap B \rightarrow x \in C \cap D ] </math> ฉะนั้น <math>A \cap B \subseteq C \cap D</math>
-== พิสูจน์ (โจทย์) ==
+=== พิสูจน์ (โจทย์) ===
 (Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 ในกรณีนี้เราได้ว่า <math>\bigcap_{i=1}^1 A_i = A \subseteq B = \bigcap_{i=1}^1 B_i \,</math>

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 18:38, 9 กรกฎาคม 2552
แถว 148:		แถว 148:

	ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า 6 หาร <math>n^3 - n</math> ลงตัวสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน		ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า 6 หาร <math>n^3 - n</math> ลงตัวสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน
		+
		+	== ข้อย่อย 7 ==
		+	ก่อนเราจะทำการพิสูจน์ข้อความในโจทย์ เราจะทำการพิสูจน์ lemma ต่อไปนี้
		+
		+	'''lemma:''' ให้ <math>A \,</math>, <math>B \,</math>, <math>C \,</math> และ <math>D \,</math> เป็นเซตใดๆ ที่ <math>A \subseteq C \,</math> และ <math>B \subseteq D \,</math> แล้ว <math>A \cap B \subseteq C \cap D</math>
		+
		+	''พิสูจน์ (lemma):'' ให้ x เป็นค่าใดๆ สมมติให้ <math>x \in A \cap B</math> เราได้ว่า <math>x \in A</math> และ <math>x \in B</math>
		+
		+	เนื่องจาก <math>A \subseteq C</math> และ <math>B \subseteq D</math> เราได้ว่า <math>x \in C</math> และ <math>x \in D</math> ด้วย ดังนั้น <math>x \in C \cap D</math>
		+
		+	เนื่องจาก x เป็นค่าใดๆ เราจึงสามารถสรุปได้ว่า <math>\forall x, [ x \in A \cap B \rightarrow x \in C \cap D ] </math> ฉะนั้น <math>A \cap B \subseteq C \cap D</math>
		+
		+	''พิสูจน์ (โจทย์):'' (Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 ในกรณีนี้เราได้ว่า <math>\bigcap_{i=1}^1 A_i = A \subseteq B = \bigcap_{i=1}^1 B_i \,</math>
		+
		+	(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้ข้อความที่โจทย์ต้องการพิสูจน์เป็นจริง
		+
		+	เราได้ว่า <math>\bigcap_{i=1}^{n+1} A_i = A_{n+1} \cap \bigcap_{i=1}^n A_i</math> และ <math>\bigcap_{i=1}^{n+1} Bฺ_i = B_{n+1} \cap \bigcap_{i=1}^n B_i</math>
		+
		+	โจทย์กำหนดว่า <math>A_{n+1} \subseteq B_{n+1}</math> และจาำกสมมติฐานเราได้ว่า <math>\bigcap_{i=1}^n A_i = A \bigcap_{i=1}^n B_i \,</math> ฉะนั้นด้วย lemma เราได้ว่า
		+	<math>\bigcap_{i=1}^{n+1} A_i = A_{n+1} \cap \bigcap_{i=1}^n A_i \subseteq B_{n+1} \cap \bigcap_{i=1}^n B_i = \bigcap_{i=1}^{n+1} Bฺ_i</math>
		+
		+	ฉะนั้นเราจึงสรุปได้ว่าข้อความในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกค่า

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 18:20, 9 กรกฎาคม 2552
แถว 135:		แถว 135:

	ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง <math>n > 1</math> ทุกจำนวน		ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง <math>n > 1</math> ทุกจำนวน
		+
		+	== ข้อย่อย 6 ==
		+	(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 0 และเราได้ว่า <math>0^3 - 0 = 0</math> ซึ่งหารด้วย 6 ได้ลงตัว
		+
		+	(Induction Case) สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และสมมติให้ <math>n^3 - n</math> หารด้วย 6 ลงตัว
		+
		+	พิจารณาค่า <math>(n+1)^3 - (n+1) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n - 1 = (n^3 - n) + 3n^2 + 3n = (n^3 -n) + 3n(n+1)</math>
		+
		+	เราได้ว่า 6 หาร <math>3n(n+1)</math> ลงตัวเนื่องจาก 3 หาร <math>3n(n+1)</math> ลงตัว นอกจากนี้ 2 ยังหาร <math>3n(n+1)</math> ลงตัวเนื่องจากในค่า <math>n</math> และ <math>n+1</math> ลงตัว จะต้องมีสักตัวที่เป็นจำนวนคู่
		+
		+	เนื่องจาก 6 หารทั้ง <math>n^3 - n</math> และ <math>3n(n+1)</math> ลงตัว เราจึงได้ว่า 6 หาร <math>(n^3 - n) + 3n(n+1) = (n+1)^3 - (n+1)</math> ลงตัวด้วย
		+
		+	ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า 6 หาร <math>n^3 - n</math> ลงตัวสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 18:08, 9 กรกฎาคม 2552
แถว 95:		แถว 95:
	:<math> = (n+1)^2 </math>		:<math> = (n+1)^2 </math>
	:ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า <math> 2^n > n^2 </math> เป็นจริง เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 4		:ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า <math> 2^n > n^2 </math> เป็นจริง เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 4
		+
		+	== ข้อย่อย 5 ==
		+	(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 2 และเราได้ว่า <math>1 + 1/4 = 5/4 < 3/2 = 2 - 1/2\,</math>
		+
		+	(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 2 และให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า
		+
		+	<table>
		+	<tr>
		+	<td align="right"><math>1 + \frac{1}{4} + \dotsb + \frac{1}{n+1}^2 \,</math></td>
		+	<td align="center"><math>= \,</math></td>
		+	<td align="left"><math>(1 + \frac{1}{4} + \dotsb + \frac{1}{n^2}) + \frac{1}{(n+1)^n} \,</math></td>
		+	</tr>
		+	<tr>
		+	<td align="right"></td>
		+	<td align="center"><math>< \,</math></td>
		+	<td align="left"><math>2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2} \,</math></td>
		+	</tr>
		+	<tr>
		+	<td align="right"></td>
		+	<td align="center"><math>< \,</math></td>
		+	<td align="left"><math>2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n(n+1)} \,</math></td>
		+	</tr>
		+	<tr>
		+	<td align="right"></td>
		+	<td align="center"><math>= \,</math></td>
		+	<td align="left"><math>2 - \frac{1}{n}\Bigg[ 1 - \frac{1}{n+1} \Bigg] \,</math></td>
		+	</tr>
		+	<tr>
		+	<td align="right"></td>
		+	<td align="center"><math>= \,</math></td>
		+	<td align="left"><math>2 - \frac{1}{n}\frac{n}{n+1} \,</math></td>
		+	</tr>
		+	<tr>
		+	<td align="right"></td>
		+	<td align="center"><math>= \,</math></td>
		+	<td align="left"><math>2 - \frac{1}{n+1} \,</math></td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+
		+	ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง <math>n > 1</math> ทุกจำนวน

@@ แถว 75: / แถว 75: @@
 <td align="right"></td>
 <td align="center"><math>= \,</math></td>
-<td align="left"><math>\frac{[(n+1)+1][(2(n+1)+1)+][2(n+1)+3]}{3}  \,</math></td>
+<td align="left"><math>\frac{((n+1)+1)((2(n+1)+1)(2(n+1)+3)}{3}  \,</math></td>
 </tr>
 </table>