418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ I/เฉลยข้อ 5 - ประวัติรุ่นแก้ไข

Cardcaptor เมื่อ 14:10, 21 มิถุนายน 2553

2010-06-21T14:10:40Z

Aoy: /* ข้อย่อย 2 */

2009-06-29T08:56:13Z

ข้อย่อย 2

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 4 */

2009-06-27T18:50:57Z

ข้อย่อย 4

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 4 */

2009-06-25T13:33:17Z

ข้อย่อย 4

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 4 */

2009-06-25T13:31:59Z

ข้อย่อย 4

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 4 */

2009-06-25T13:30:06Z

ข้อย่อย 4

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 3 */

2009-06-25T13:19:35Z

ข้อย่อย 3

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 4 */

2009-06-25T13:10:23Z

ข้อย่อย 4

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 4 */

2009-06-25T13:07:36Z

ข้อย่อย 4

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 4 */

2009-06-25T13:07:03Z

ข้อย่อย 4

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 14:10, 21 มิถุนายน 2553
แถว 50:		แถว 50:
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
−
−	~~== ข้อย่อย 4 ==~~
−	ให้ x เป็นค่าใดๆ สมมติว่า <math>x \in \bigcap \mathcal{G}</math> เราจะได้ว่าสำหรับเซต A ใดๆ ถ้า <math>A \in \mathcal{G}</math> แล้ว <math>x \in A</math>
−
−	~~ให้ B เป็นเซตใดๆ สมมติใ้ห้ <math>ฺB \in \mathcal{F}</math>~~
−
−	เนื่องจาก <math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}</math> เราได้ว่า <math>B \in \mathcal{G} ด้วย</math> ฉะนั้นเราจะได้ว่า <math>x \in B</math>
−
−	เนื่องจาก B เป็นเซตใดๆ เราสามารถสรุปได้ว่า <math>\forall B [ B \in \mathcal{F} \rightarrow x \in B ]</math> ซึ่งมีความหมายเดียวกันกับ <math>x \in \bigcap \mathcal{F}</math>
−
−	เนื่องจาก x เป็นค่าใดๆ เราสามารถสรุปได้ว่า <math>\forall x [x \in \bigcap \mathcal{G} \rightarrow x \in \bigcap\mathcal{F} ]</math> หรือ <math>\bigcap \mathcal{G} \subseteq \bigcap \mathcal{F}</math>
−
−	~~== ข้อย่อย 5 ==~~
−	ให้ x เป็นค่าใดๆ สมมติว่า <math>x \in \bigcup \mathcal{F}</math> เราจะได้ว่ามีเซต <math>A_0 \in \mathcal{F}\,</math> หนึ่งเซตที่ <math>x \in A_0</math>
−
−	เนื่องจากเซตทุกเซตใน <math>\mathcal{F}</math> เป็นซับเซตของเซตทุกเซตใน <math>\mathcal{G}</math> (ประโยคนี้เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า <math>\forall A \in \mathcal{F}, forall B \in \mathcal{B} [A \subseteq B]</math>) เราได้ว่า <math>A_0 \,</math> เป็นซับเซตของเซตทุกเซตใน <math>\mathcal{G}</math> กล่าวคือ ถ้า <math>B \,</math> เป็นเซตใดๆ ใน <math>\mathcal{G}</math> แล้ว <math>A_0 \subseteq B</math> ซึ่งทำให้เราสามารถสรุปได้ว่า <math>x \in B</math>
−
−	เนื่องจาก x เป็นสมาชิกของเซตทุกเซตใน <math>\mathcal{G}</math> (กล่าวคือ <math>\forall B \in \mathcal{G} [x \in B]</math>) เราได้ว่า <math>x \in \bigcap \mathcal{G}</math>
−
−	เนื่องจาก x เป็นค่าใดๆ เราสรุปได้ว่าสมาชิกทุกตัวของ <math>\bigcup \mathcal{F}</math> เป็นสมาชิกของ <math>\bigcap \mathcal{G}</math> ด้วย ฉะนั้น <math>\bigcup \mathcal{F} \subseteq \bigcap \mathcal{G}</math>

@@ แถว 11: / แถว 11: @@
 == ข้อย่อย 2 ==
-อ.วัฒนา
+จากโจทย์ให้ <math> x </math> เป็นจำนวนจริง ต้องการแสดงว่าถ้า <math> x \neq 1 </math> แล้วมีจำนวนจริง <math> y </math> ที่ทำให้สมการ <math> \frac{y+1}{y+2}=x </math> เป็นจริง จะทำการพิสูจน์โดยการหาจำนวนจริง <math> y </math> บางค่าที่ทำให้สมการดังกล่าวเป็นจริง
 == ข้อย่อย 3 ==

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 18:50, 27 มิถุนายน 2552
แถว 57:		แถว 57:

	เนื่องจาก x เป็นค่าใดๆ เราสามารถสรุปได้ว่า <math>\forall x [x \in \bigcap \mathcal{G} \rightarrow x \in \bigcap\mathcal{F} ]</math> หรือ <math>\bigcap \mathcal{G} \subseteq \bigcap \mathcal{F}</math>		เนื่องจาก x เป็นค่าใดๆ เราสามารถสรุปได้ว่า <math>\forall x [x \in \bigcap \mathcal{G} \rightarrow x \in \bigcap\mathcal{F} ]</math> หรือ <math>\bigcap \mathcal{G} \subseteq \bigcap \mathcal{F}</math>
		+
		+	== ข้อย่อย 5 ==
		+	ให้ x เป็นค่าใดๆ สมมติว่า <math>x \in \bigcup \mathcal{F}</math> เราจะได้ว่ามีเซต <math>A_0 \in \mathcal{F}\,</math> หนึ่งเซตที่ <math>x \in A_0</math>
		+
		+	เนื่องจากเซตทุกเซตใน <math>\mathcal{F}</math> เป็นซับเซตของเซตทุกเซตใน <math>\mathcal{G}</math> (ประโยคนี้เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า <math>\forall A \in \mathcal{F}, forall B \in \mathcal{B} [A \subseteq B]</math>) เราได้ว่า <math>A_0 \,</math> เป็นซับเซตของเซตทุกเซตใน <math>\mathcal{G}</math> กล่าวคือ ถ้า <math>B \,</math> เป็นเซตใดๆ ใน <math>\mathcal{G}</math> แล้ว <math>A_0 \subseteq B</math> ซึ่งทำให้เราสามารถสรุปได้ว่า <math>x \in B</math>
		+
		+	เนื่องจาก x เป็นสมาชิกของเซตทุกเซตใน <math>\mathcal{G}</math> (กล่าวคือ <math>\forall B \in \mathcal{G} [x \in B]</math>) เราได้ว่า <math>x \in \bigcap \mathcal{G}</math>
		+
		+	เนื่องจาก x เป็นค่าใดๆ เราสรุปได้ว่าสมาชิกทุกตัวของ <math>\bigcup \mathcal{F}</math> เป็นสมาชิกของ <math>\bigcap \mathcal{G}</math> ด้วย ฉะนั้น <math>\bigcup \mathcal{F} \subseteq \bigcap \mathcal{G}</math>

@@ แถว 50: / แถว 50: @@
 ให้ x เป็นค่าใดๆ สมมติว่า <math>x \in \bigcap \mathcal{G}</math> เราจะได้ว่าสำหรับเซต A ใดๆ ถ้า <math>A \in \mathcal{G}</math> แล้ว <math>x \in A</math>
-ให้ B เป็นเซตใดๆ สมมติใ้ห้ <math>ฺB \in \mathcal{F}</math> เนื่องจาก <math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}</math> เราได้ว่า <math>B \in \mathcal{G} ด้วย</math> ฉะนั้นเราจะได้ว่า <math>x \in \mathcal{B}</math>
+ให้ B เป็นเซตใดๆ สมมติใ้ห้ <math>ฺB \in \mathcal{F}</math>
-เนื่องจาก B เป็นเซตใดๆ เราสามารถสรุปได้ว่า <math>\forall B [ B \in \mathcal{F} \rightarrow x \in \mathcal{F} ]</math> ซึ่งมีความหมายเดียวกันกับ <math>x \in \bigcap \mathcal{F}</math>
+เนื่องจาก <math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}</math> เราได้ว่า <math>B \in \mathcal{G} ด้วย</math> ฉะนั้นเราจะได้ว่า <math>x \in B</math>
 เนื่องจาก x เป็นค่าใดๆ เราสามารถสรุปได้ว่า <math>\forall x [x \in \bigcap \mathcal{G} \rightarrow x \in \bigcap\mathcal{F} ]</math> หรือ <math>\bigcap \mathcal{G} \subseteq \bigcap \mathcal{F}</math>

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 13:31, 25 มิถุนายน 2552
แถว 52:		แถว 52:
	ให้ B เป็นเซตใดๆ สมมติใ้ห้ <math>ฺB \in \mathcal{F}</math> เนื่องจาก <math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}</math> เราได้ว่า <math>B \in \mathcal{G} ด้วย</math> ฉะนั้นเราจะได้ว่า <math>x \in \mathcal{B}</math>		ให้ B เป็นเซตใดๆ สมมติใ้ห้ <math>ฺB \in \mathcal{F}</math> เนื่องจาก <math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}</math> เราได้ว่า <math>B \in \mathcal{G} ด้วย</math> ฉะนั้นเราจะได้ว่า <math>x \in \mathcal{B}</math>

−	เนื่องจาก B เป็นเซตใดๆ ~~สามารถสรุปได้ว่า~~ <math>\forall B [ B \in \mathcal{F} \rightarrow x \in \mathcal{F} ]</math> ซึ่งมีความหมายเดียวกันกับ <math>x \in \bigcap \mathcal{F}</math>	+	เนื่องจาก B เป็นเซตใดๆ เราสามารถสรุปได้ว่า <math>\forall B [ B \in \mathcal{F} \rightarrow x \in \mathcal{F} ]</math> ซึ่งมีความหมายเดียวกันกับ <math>x \in \bigcap \mathcal{F}</math>
		+
		+	เนื่องจาก x เป็นค่าใดๆ เราสามารถสรุปได้ว่า <math>\forall x [x \in \bigcap \mathcal{G} \rightarrow x \in \bigcap\mathcal{F} ]</math> หรือ <math>\bigcap \mathcal{G} \subseteq \bigcap \mathcal{F}</math>

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 13:30, 25 มิถุนายน 2552
แถว 49:		แถว 49:
	== ข้อย่อย 4 ==		== ข้อย่อย 4 ==
	ให้ x เป็นค่าใดๆ สมมติว่า <math>x \in \bigcap \mathcal{G}</math> เราจะได้ว่าสำหรับเซต A ใดๆ ถ้า <math>A \in \mathcal{G}</math> แล้ว <math>x \in A</math>		ให้ x เป็นค่าใดๆ สมมติว่า <math>x \in \bigcap \mathcal{G}</math> เราจะได้ว่าสำหรับเซต A ใดๆ ถ้า <math>A \in \mathcal{G}</math> แล้ว <math>x \in A</math>
		+
		+	ให้ B เป็นเซตใดๆ สมมติใ้ห้ <math>ฺB \in \mathcal{F}</math> เนื่องจาก <math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}</math> เราได้ว่า <math>B \in \mathcal{G} ด้วย</math> ฉะนั้นเราจะได้ว่า <math>x \in \mathcal{B}</math>
		+
		+	เนื่องจาก B เป็นเซตใดๆ สามารถสรุปได้ว่า <math>\forall B [ B \in \mathcal{F} \rightarrow x \in \mathcal{F} ]</math> ซึ่งมีความหมายเดียวกันกับ <math>x \in \bigcap \mathcal{F}</math>

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 13:19, 25 มิถุนายน 2552
แถว 46:		แถว 46:
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
		+
		+	== ข้อย่อย 4 ==
		+	ให้ x เป็นค่าใดๆ สมมติว่า <math>x \in \bigcap \mathcal{G}</math> เราจะได้ว่าสำหรับเซต A ใดๆ ถ้า <math>A \in \mathcal{G}</math> แล้ว <math>x \in A</math>

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 13:10, 25 มิถุนายน 2552
แถว 46:		แถว 46:
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
−
−	~~== ข้อย่อย 4 ==~~
−	~~สมมติว่า <math>x \neq 0</math> และสมมติว่า <math>y = \frac{3x^2 + 2y}{x^2 + 2}</math> เราได้ว่า~~
−
−	~~<table cellpadding="5">~~
−	~~<tr>~~
−	~~<td align="right"><math>y \,</math></td>~~
−	~~<td align="center"><math>= \,</math></td>~~
−	~~<td align="left"><math>\frac{3x^2 + 2y}{x^2 + 2} \,</math></td>~~
−	~~</tr>~~
−	~~<tr>~~
−	~~<td align="right"><math>y(x^2 + 2) \,</math></td>~~
−	~~<td align="center"><math>= \,</math></td>~~
−	~~<td align="left"><math>3x^2 + 2y \,</math></td>~~
−	~~</tr>~~
−	~~<tr>~~
−	~~<td align="right"><math>yx^2 + 2y \,</math></td>~~
−	~~<td align="center"><math>= \,</math></td>~~
−	~~<td align="left"><math>3x^2 + 2y \,</math></td>~~
−	~~</tr>~~
−	~~<tr>~~
−	~~<td align="right"><math>(y-3)x^2 \,</math></td>~~
−	~~<td align="center"><math>= \,</math></td>~~
−	~~<td align="left"><math>0 \,</math></td>~~
−	~~</tr>~~
−	~~</table>~~
−
−	~~ซึ่งหมายความว่า <math>y-3 = 0</math> หรือ <math>x^2 = 0</math>~~
−
−	แต่เนื่องจาก <math>x \neq 0</math> เราได้ว่า <math>x^2 \neq 0</math> ด้วย ฉะนั้นเราจึงสรุปได้ว่า y-3 = 0 หรือว่า y = 3

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 13:07, 25 มิถุนายน 2552
แถว 75:		แถว 75:
	ซึ่งหมายความว่า <math>y-3 = 0</math> หรือ <math>x^2 = 0</math>		ซึ่งหมายความว่า <math>y-3 = 0</math> หรือ <math>x^2 = 0</math>

−	แต่เนื่องจาก <math>x \neq 0</math> เราได้ว่า <math>x^2 \neq 0</math> ด้วย ฉะนั้นเราจึงสรุปได้ว่า y-3 = 0 หรือว่า y = 0	+	แต่เนื่องจาก <math>x \neq 0</math> เราได้ว่า <math>x^2 \neq 0</math> ด้วย ฉะนั้นเราจึงสรุปได้ว่า y-3 = 0 หรือว่า y = 3

@@ แถว 50: / แถว 50: @@
 สมมติว่า <math>x \neq 0</math> และสมมติว่า <math>y = \frac{3x^2 + 2y}{x^2 + 2}</math> เราได้ว่า
-:<table cellpadding="5">
+<table cellpadding="5">
 <tr>
 <td align="right"><math>y \,</math></td>