Cardcaptor: สร้างหน้าใหม่: == ข้อย่อย 1 == สูตรคือ $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n}= \frac{2^n-1}{2^n}$ base ...

2009-07-09T20:09:06Z

สร้างหน้าใหม่: == ข้อย่อย 1 == สูตรคือ <math>\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n}= \frac{2^n-1}{2^n}</math> base ...

หน้าใหม่

== ข้อย่อย 1 ==

สูตรคือ <math>\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n}= \frac{2^n-1}{2^n}</math>

base case: ให้ <math> n=1 </math>

: <math> \frac{1}{2^1}=\frac {2^1-1}{2^1}=\frac {1}{2} </math> เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือสมมติให้ p(n) คือ <math>\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}</math> เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า p(n+1) คือ <math>\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}</math> เป็นจริงด้วย

:จากที่สมมติไว้คือ <math>\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}</math>
:บวกทั้งสองข้างของสมการด้วย <math> \frac{1}{2^{n+1}} </math>
:จะได้ <math>\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n}+ \frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^n-1}{2^n}+ \frac{1}{2^{n+1}}</math>
:<math>=\frac{2}{2}.\frac{2^n-1}{2^n}+ \frac{1}{2^{n+1}}</math>
:<math>=\frac{2^{n+1}-2}{2^{n+1}}+ \frac{1}{2^{n+1}}</math>
:<math>=\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}</math>

:ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า <math>\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n}= \frac{2^n-1}{2^n}</math>

== ข้อย่อย 2==
สูตรคือ <math>\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}= \frac{n}{n+1}</math>

base case: ให้ <math> n=1 </math>

:<math> \frac{1}{1(1+1)}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} </math> เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือสมมติให้ p(n)คือ <math>\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}= \frac{n}{n+1}</math> เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า <math>\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{(n+1)(n+2)}= \frac{n+1}{n+2}</math> เป็นจริงด้วย

:จากที่สมมติไว้คือ <math>\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}= \frac{n}{n+1}</math>
:บวก <math> \frac{1}{(n+1)(n+2)} </math> ทั้งสองข้างของสมการ
:จะได้ <math>\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}+ \frac{1}{(n+1)(n+2)}= \frac{n}{n+1}+ \frac{1}{(n+1)(n+2)}</math>
:<math>= \frac{n}{(n+1)}.\frac{(n+2)}{(n+2)}+ \frac{1}{(n+1)(n+2)}</math>
:<math>= \frac{(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)}</math>
:<math>= \frac{(n+1)}{(n+2)}</math>
:ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า <math>\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}= \frac{n}{n+1}</math> เป็นจริง

== ข้อย่อย 3 ==
(Base Case) เนื่องจาก <math>n = 0\,</math> เราได้ว่า <math>1 = (2\cdot 0 + 1)^2 = (0+1)(2 \cdot 0+1)(2 \cdot 0 + 3) / 3\,</math>

(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

<table>
<tr>
<td align="right"><math>1^2 + 3^2 + \dotsb + (2(n+1)+1)^2 \,</math></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>(1^2 +3^2 + \dotsb + (2n+1)^2) + (2n+3)^2\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>\frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3} + (2n+3)^2\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>(2n+3) \bigg[ \frac{(n+1)(2n+1)}{3} + (2n+3) \bigg] \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>(2n+3) \bigg[ \frac{2n^2 + 3n + 1 + 3(2n+3)}{3} \bigg] \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>(2n+3) \bigg[ \frac{2n^2 + 9n + 10}{3} \bigg] \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>(2n+3) \frac{(n+2)(2n+5)}{3} \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>\frac{((n+1)+1)((2(n+1)+1)(2(n+1)+3)}{3} \,</math></td>
</tr>
</table>

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน

== ข้อย่อย 4 ==

base case: คือ n=5 แทนค่าจะได้
: <math> 2^5 > 5^2 </math> เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือ สมมติให้ p(n) คือ <math> 2^n > n^2 </math> เป็นจริง ต้องการแสดงว่า <math> 2^{n+1} > (n+1)^2 </math> เป็นจริงด้วย
:จากที่สมมติ <math> 2^n > n^2 </math>
:คูณ 2 ทั้งสองข้างของสมการจะได้
:<math> 2.2^n > 2.n^2 </math>
:<math> 2^{n+1} > n^2+n^2 </math>
:<math> \geq n^2+5n </math> เนื่องจาก n>4
:<math> \geq n^2+2n+1 </math>
:<math> = (n+1)^2 </math>
:ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า <math> 2^n > n^2 </math> เป็นจริง เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 4

== ข้อย่อย 5 ==
(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 2 และเราได้ว่า <math>1 + 1/4 = 5/4 < 3/2 = 2 - 1/2\,</math>

(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 2 และให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

<table>
<tr>
<td align="right"><math>1 + \frac{1}{4} + \dotsb + \frac{1}{n+1}^2 \,</math></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>(1 + \frac{1}{4} + \dotsb + \frac{1}{n^2}) + \frac{1}{(n+1)^n} \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math>< \,</math></td>
<td align="left"><math>2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2} \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math>< \,</math></td>
<td align="left"><math>2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n(n+1)} \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>2 - \frac{1}{n}\Bigg[ 1 - \frac{1}{n+1} \Bigg] \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>2 - \frac{1}{n}\frac{n}{n+1} \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>2 - \frac{1}{n+1} \,</math></td>
</tr>
</table>

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง <math>n > 1</math> ทุกจำนวน

== ข้อย่อย 6 ==
(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 0 และเราได้ว่า <math>0^3 - 0 = 0</math> ซึ่งหารด้วย 6 ได้ลงตัว

(Induction Case) สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และสมมติให้ <math>n^3 - n</math> หารด้วย 6 ลงตัว

พิจารณาค่า <math>(n+1)^3 - (n+1) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n - 1 = (n^3 - n) + 3n^2 + 3n = (n^3 -n) + 3n(n+1)</math>

เราได้ว่า 6 หาร <math>3n(n+1)</math> ลงตัวเนื่องจาก 3 หาร <math>3n(n+1)</math> ลงตัว นอกจากนี้ 2 ยังหาร <math>3n(n+1)</math> ลงตัวเนื่องจากในค่า <math>n</math> และ <math>n+1</math> ลงตัว จะต้องมีสักตัวที่เป็นจำนวนคู่

เนื่องจาก 6 หารทั้ง <math>n^3 - n</math> และ <math>3n(n+1)</math> ลงตัว เราจึงได้ว่า 6 หาร <math>(n^3 - n) + 3n(n+1) = (n+1)^3 - (n+1)</math> ลงตัวด้วย

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า 6 หาร <math>n^3 - n</math> ลงตัวสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน

== ข้อย่อย 7 ==
ก่อนเราจะทำการพิสูจน์ข้อความในโจทย์ เราจะทำการพิสูจน์ lemma ต่อไปนี้

'''lemma:''' ให้ <math>A \,</math>, <math>B \,</math>, <math>C \,</math> และ <math>D \,</math> เป็นเซตใดๆ ที่ <math>A \subseteq C \,</math> และ <math>B \subseteq D \,</math> แล้ว <math>A \cap B \subseteq C \cap D</math>

''พิสูจน์ (lemma):'' ให้ x เป็นค่าใดๆ สมมติให้ <math>x \in A \cap B</math> เราได้ว่า <math>x \in A</math> และ <math>x \in B</math>

เนื่องจาก <math>A \subseteq C</math> และ <math>B \subseteq D</math> เราได้ว่า <math>x \in C</math> และ <math>x \in D</math> ด้วย ดังนั้น <math>x \in C \cap D</math>

เนื่องจาก x เป็นค่าใดๆ เราจึงสามารถสรุปได้ว่า <math>\forall x, [ x \in A \cap B \rightarrow x \in C \cap D ] </math> ฉะนั้น <math>A \cap B \subseteq C \cap D</math>

=== พิสูจน์ (โจทย์) ===
(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 ในกรณีนี้เราได้ว่า <math>\bigcap_{i=1}^1 A_i = A \subseteq B = \bigcap_{i=1}^1 B_i \,</math>

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้ข้อความที่โจทย์ต้องการพิสูจน์เป็นจริง

เราได้ว่า <math>\bigcap_{i=1}^{n+1} A_i = A_{n+1} \cap \bigcap_{i=1}^n A_i</math> และ <math>\bigcap_{i=1}^{n+1} Bฺ_i = B_{n+1} \cap \bigcap_{i=1}^n B_i</math>

โจทย์กำหนดว่า <math>A_{n+1} \subseteq B_{n+1}</math> และจาำกสมมติฐานเราได้ว่า <math>\bigcap_{i=1}^n A_i = A \bigcap_{i=1}^n B_i \,</math> ฉะนั้นด้วย lemma เราได้ว่า
<math>\bigcap_{i=1}^{n+1} A_i = A_{n+1} \cap \bigcap_{i=1}^n A_i \subseteq B_{n+1} \cap \bigcap_{i=1}^n B_i = \bigcap_{i=1}^{n+1} Bฺ_i</math>

ฉะนั้นเราจึงสรุปได้ว่าข้อความในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกค่า

== ข้อย่อย 8 ==
(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราจะได้ว่า <math>1 \cdot 2^{1-1} = 1 = (1-1)2^1 + 1</math>

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง ได้ว่า

<table>
<tr>
<td align="right"><math>1 \cdot 2^0 + 2 \cdot 2^1 + \dotsb + (n+1) \cdot 2^n \,</math></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>(1 \cdot 2^0 + 2 \cdot 2^1 + \dotsb + n \cdot 2^{n-1}) + (n+1) \cdot 2^n \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>(n-1)2^n + 1 + (n+1) \cdot 2^n \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>(2n) \cdot 2^n + 1 \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>n \cdot 2^{n+1} + 1 \,</math></td>
</tr>
</table>

ดังนั้นเราสรุปได้ว่าสมการเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

== ข้อ 9 ==
(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราได้ว่า <math>4^{1+1} + 5^{2\cdot 1 - 1} = 16 + 5 = 21</math> ซึ่งหารด้วย 21 ลงตัว

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้ <math>4^{n+1} + 5^{2n-1}</math> หารด้วย 21 ลงตัว

เราได้ว่า <math>4^{n+2} + 5^{2n+1} = 4 \cdot 4^{n+1} + 25 \cdot 5^{2n-1} = (25 - 21) 4^{n+1} + 25 \cdot 5^{2n-1} = 25 (4^{n+1} + 5^{2n-1}) + 21 \cdot 4^{n+1}</math>

จากสมมติฐาน เราได้ว่า 21 หาร <math>4^{n+1} + 5^{2n-1}</math> ลงตัว ดังนั้นมันจึงหาร <math>25(4^{n+1} + 5^{2n-1})</math> ลงตัว และเนื่องจาก 21 หาร <math>21 \cdot 4^{n+1}</math> ลงตัว เราจึงได้ว่า 21 หาร <math>25 (4^{n+1} + 5^{2n-1}) + 21 \cdot 4^{n+1} = 4^{n+2} + 5^{2n+1}</math>

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่า 21 หาร <math>4^{n+1} + 5^{2n-1}</math> ลงตัวสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

== ข้อ 10 ==
'''lemma:''' สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ <math>2\sqrt{n+1} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > 2\sqrt{n+2}</math>

''พิสูจน์ (lemma):'' เราได้ว่า

<table cellpadding="5">
<tr>
<td align="right"><math>\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}</math></td>
<td align="center"><math> > \,</math></td>
<td align="left"><math>2\sqrt{n+1}</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"><math>(\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}) \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}}</math></td>
<td align="center"><math> > \,</math></td>
<td align="left"><math>2\sqrt{n+1}</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"><math>\frac{1}{\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}}</math></td>
<td align="center"><math> > \,</math></td>
<td align="left"><math>2\sqrt{n+1}</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"><math>\frac{1}{\sqrt{n+1}}</math></td>
<td align="center"><math> > \,</math></td>
<td align="left"><math>2\sqrt{n+2} - 2\sqrt{n+1}</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"><math>2\sqrt{n+1} + \frac{1}{\sqrt{n+1}}</math></td>
<td align="center"><math> > \,</math></td>
<td align="left"><math>2\sqrt{n+2}</math></td>
</tr>
</table>

=== พิสูจน์ (โจทย์) ===
(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 เราได้ว่า <math>1 > 0.82842712474619029\dotsb = 2(\sqrt{1+1} - 1)\,</math>

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้อสมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

<math>1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \dotsb + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > 2(\sqrt{n+1} - 1) + \frac{1}{\sqrt{n+1}} = 2\sqrt{n+1} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} - 2 > 2\sqrt{n+2} - 2 = 2(\sqrt{n+2} - 1)</math>

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าอสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกตัว

418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II/เฉลยข้อ 1 - ประวัติรุ่นแก้ไข

Cardcaptor: สร้างหน้าใหม่: == ข้อย่อย 1 == สูตรคือ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n}= \frac{2^n-1}{2^n} base ...

Cardcaptor: สร้างหน้าใหม่: == ข้อย่อย 1 == สูตรคือ $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n}= \frac{2^n-1}{2^n}$ base ...