Cardcaptor: หน้าที่ถูกสร้างด้วย '== ข้อ 1 == สำหรับ $i = 1, 2, \ldots, 6\,$ ให้ $x'_i = x_i - 1\,$ เราได้ว่…'

2009-07-30T09:30:36Z

หน้าที่ถูกสร้างด้วย '== ข้อ 1 == สำหรับ <math>i = 1, 2, \ldots, 6\,</math> ให้ <math> x'_i = x_i - 1\,</math> เราได้ว่…'

หน้าใหม่

== ข้อ 1 ==
สำหรับ <math>i = 1, 2, \ldots, 6\,</math> ให้ <math> x'_i = x_i - 1\,</math> เราได้ว่า <math>x_1 + x_2 + \dotsb + x_6 = (x'_1 + 1) + (x'_2 + 1) + \dotsb + (x'_6 + 1) = x'_1 + x'_2 + \dotsb + x'_6 + 6 = 29 \,</math> ดังนั้น <math>x'_1 + x'_2 + \dotsb + x'_6 = 23 \,</math>

ฉะนั้นจำนวนคำตอบของสมการ <math>x_1 + x_2 + \dotsb + x_6</math> โดยที่ <math>x_i \geq 1 \,</math> จึงมีจำนวนเท่ากับจำนวนคำตอบของสมการ <math>x'_1 + x'_2 + \dotsb + x'_6 = 23 \,</math> โดยที่ <math>x'_i \geq 0 \,</math> ซึ่งมีจำนวนเท่ากับ <math>{23 + 6 - 1 \choose 23} = 98280\,</math>

== ข้อ 2 ==
สำหรับ <math>i = 1, 2, \ldots, 6\,</math> ให้ <math> x'_i = x_i - i\,</math> เราได้ว่า <math>x_1 + x_2 + \dotsb + x_6 = (x'_1 + 1) + (x'_2 + 2) + \dotsb + (x'_6 + 6) = x'_1 + x'_2 + \dotsb + x'_6 + 21 = 29 \,</math> ดังนั้น <math>x'_1 + x'_2 + \dotsb + x'_6 = 8 \,</math>

ฉะนั้นจำนวนคำตอบของสมการ <math>x_1 + x_2 + \dotsb + x_6</math> โดยที่ <math>x_i \geq 1 \,</math> จึงมีจำนวนเท่ากับจำนวนคำตอบของสมการ <math>x'_1 + x'_2 + \dotsb + x'_6 = 8 \,</math> โดยที่ <math>x'_i \geq 0 \,</math> ซึ่งมีจำนวนเท่ากับ <math>{8 + 6 - 1 \choose 8} = 1287\,</math>

== ข้อ 3 ==
สมการ <math>x_1 + x_2 + \dotsb + x_6 = 29 \,</math> โดยที่ <math>x_i \geq 0</math> มีจำนวนคำตอบทั้งหมด <math>{29+6-1 \choose 29} = 278256</math> คำตอบ

เราจะนับจำนวนคำตอบของสมการ <math>x_1 + x_2 + \dotsb + x_6 = 29\,</math> โดยที่ <math>x_1 > 5\,</math> ซึ่งหมายความว่า <math>x_1 \geq 6 \,</math> ให้ <math>x'_1 = x_1 - 6 \,</math> เราได้ว่า
<math>x'_1 + x_2 + x_3 + \dotsb + x_6 = 23 \,</math> โดยที่ <math>x'_1, x_2, x_3, \ldots, x_6 \geq 0 \,</math> ฉะนั้นจึงมีจำนวนคำตอบทั้งหมดเท่ากับ <math>{23+6-1 \choose 23} = 98280 \,</math>

ฉะนั้นมีจำนวนคำตอบของสมการ <math>x_1 + x_2 + \dotsb + x_6 = 29\,</math> โดยที่ <math>x_1 \leq 5\,</math> เท่ากับ <math>278256 - 98280 = 179976\,</math>

== ข้อ 4 ==
ใช้การให้เหตุผลในข้อ 3 เราได้ว่าสมการ <math>x_1 + x_2 + \dotsb + x_6 = 29 \,</math> โดยที่ <math>x_2 > 8 \,</math> มีจำนวนคำตอบทั้งหมด <math>{(29-9)+6-1 \choose 29-9} = 53130</math> คำตอบ

ใช้การให้เหตุผลเช่นเดิม เราได้ว่าสมการ <math>x_1 + x_2 + \dotsb + x_6 = 29 \,</math> โดยที่ <math>x_2 > 8 \,</math> และ <math>x_1 > 8 \,</math> มีจำนวนคำตอบทั้งหมด <math>{(29-9-9)+6-1 \choose 29-9-9} = {16 \choose 11} = 4368</math> คำตอบ

ดังนั้นสมการ <math>x_1 + x_2 + \dotsb + x_6 = 29 \,</math> โดยที่ <math>x_2 > 8 \,</math> และ <math>x_1 \leq 8 \,</math> จึงมีจำนวนคำตอบทั้งหมด <math>53130 - 4368 = 48762\,</math>

418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการวิเคราะห์เชิงการจัด/เฉลยข้อ 6 - ประวัติรุ่นแก้ไข

Cardcaptor: หน้าที่ถูกสร้างด้วย '== ข้อ 1 == สำหรับ i = 1, 2, \ldots, 6\, ให้ x'_i = x_i - 1\, เราได้ว่…'

Cardcaptor: หน้าที่ถูกสร้างด้วย '== ข้อ 1 == สำหรับ $i = 1, 2, \ldots, 6\,$ ให้ $x'_i = x_i - 1\,$ เราได้ว่…'