418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น I/เฉลยข้อ 1 - ประวัติรุ่นแก้ไข

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 4 */

2009-08-02T15:50:09Z

ข้อย่อย 4

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 2 */

2009-08-02T15:32:58Z

ข้อย่อย 2

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 3 */

2009-08-02T15:31:48Z

ข้อย่อย 3

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 1 */

2009-08-02T15:31:31Z

ข้อย่อย 1

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 3 */

2009-08-02T15:31:07Z

ข้อย่อย 3

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 2 */

2009-08-02T15:27:43Z

ข้อย่อย 2

Cardcaptor: /* ข้อย่อย 1 */

2009-08-02T15:18:29Z

ข้อย่อย 1

Aoy: /* ข้อย่อย 3 */

2009-08-02T08:02:08Z

ข้อย่อย 3

Aoy: /* ข้อย่อย 2 */

2009-08-02T07:51:02Z

ข้อย่อย 2

Aoy เมื่อ 07:45, 2 สิงหาคม 2552

2009-08-02T07:45:31Z

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 15:50, 2 สิงหาคม 2552
แถว 35:		แถว 35:

	== ข้อย่อย 4 ==		== ข้อย่อย 4 ==
		+	ให้ <math>P_n \,</math> เป็นเซตของผลลัพธ์การโยนเหรียญทั้งหมด <math>n \,</math> ครั้ง ที่ไม่มีหัวติดกันตั้งแต่ 4 ครั้งขึ้นไป
		+
		+	เราได้ว่า <math>\|P_1\| = 2 \,</math>, <math>\|P_2\| = 4 \,</math>, <math>\|P_3\| = 8 \,</math>, และ <math>\|P_4\| = 15 \,</math>. (สังเกตว่าถ้าเราโยนเหรียญน้อยกว่า 4 คร้้ง ผลลัพธ์ของการโยนเหรีญทั้งหมดจะไม่มีหัวติดกันตั้งแต่ 4 ครั้งขึ้นไป)
		+
		+	พิจารณาเซต <math>P_n \,</math> ให้ <math>a_1 a_2 a_3 \cdots a_n \in P_n</math> โดยที่ <math>a_i \in \{ H, T \}</math> (H = head = หัว, T = tail = ก้อย) เราได้ว่าเราสามารถแบ่ง <math>a_1 a_2 \cdots a_n</math> ออกได้เป็นสี่กรณี คือ:
		+	* <math>a_1 = T \,</math> เราได้ว่า <math>a_2 a_3 \cdots a_n</math> เป็นผลลัพธ์การโยนเหรียญจำนวน <math>n-1 \,</math> ครั้งที่ไม่มีหัวติดกินตั้งแต่ 4 ครั้งขึ้นไป ถ้าให้ <math>A_1 \,</math> เป็นเซตของผลลัพธ์ในกรณีนี้ เราได้ว่า <math>\|A_1\| = \|P_{n-1}\| \,</math>
		+	* <math>a_1 = H, a_2 = T \,</math> เราได้ว่า <math>a_3 a_4 \cdots a_n</math> เป็นผลลัพธ์การโยนเหรียญจำนวน <math>n-2 \,</math> ครั้งที่ไม่มีหัวติดกินตั้งแต่ 4 ครั้งขึ้นไป ถ้าให้ <math>A_2 \,</math> เป็นเซตของผลลัพธ์ในกรณีนี้ เราได้ว่า <math>\|A_2\| = \|P_{n-2}\| \,</math>
		+	* <math>a_1 = H, a_2 = H, a_3 = T \,</math> เราได้ว่า <math>a_4 a_5 \cdots a_n</math> เป็นผลลัพธ์การโยนเหรียญจำนวน <math>n-3 \,</math> ครั้งที่ไม่มีหัวติดกินตั้งแต่ 4 ครั้งขึ้นไป ถ้าให้ <math>A_3 \,</math> เป็นเซตของผลลัพธ์ในกรณีนี้ เราได้ว่า <math>\|A_3\| = \|P_{n-3}\| \,</math>
		+	* <math>a_1 = H, a_2 = H, a_3 = H, a_4 = T \,</math> เราได้ว่า <math>a_5 a_6 \cdots a_n</math> เป็นผลลัพธ์การโยนเหรียญจำนวน <math>n-4 \,</math> ครั้งที่ไม่มีหัวติดกินตั้งแต่ 4 ครั้งขึ้นไป ถ้าให้ <math>A_4 \,</math> เป็นเซตของผลลัพธ์ในกรณีนี้ เราได้ว่า <math>\|A_4\| = \|P_{n-4}\| \,</math>
		+
		+	เนื่องจาก <math>P_n = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4</math> และ <math>A_1, A_2, A_3, A_4 \,</math> ไม่มีส่วนร่วมกันเป็นคู่ๆ เราได้ว่า <math>\|P_n\| = \|A_1\| + \|A_2\| + \|A_3\| + \|A_4\| = \|P_{n-1}\| + \|P_{n-2}\| + \|P_{n-3}\| + \|P_{n-4}\| \,</math>
		+
		+	ฉะนั้นเราจะได้ว่า <math>\|P_5\| = 29, \|P_6\| = 56, \|P_7\| = 108, \|P_8\| = 208, \|P_9\| = 401, \|P_{10}\| = 773 \,</math>
		+
		+	ฉะนั้นความน่าจะเป็นที่เราจะโยนเหรียญได้หัวติดกันอย่างน้อย 4 ครั้งจึงมีค่าเท่ากับ <math>\frac{2^{10} - 773}{2^{10}} = \frac{251}{1024} \,</math>

@@ แถว 7: / แถว 7: @@
 == ข้อย่อย 2 ==
-ให้ A เป็นเซตของผลลัพธ์การโยนเหรียญทั้งหมด
+ให้ <math>A \,</math> เป็นเซตของผลลัพธ์การโยนเหรียญทั้งหมด
-B เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนหัวมากกว่าจำนวนก้อย
+<math>B \,</math> เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนหัวมากกว่าจำนวนก้อย
-C เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนก้อยมากกว่าจำนวนหัว
+<math>C \,</math> เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนก้อยมากกว่าจำนวนหัว
-D เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อย แล้วได้จำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อย
+<math>D \,</math> เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อย แล้วได้จำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อย
-เนื่องจาก <math>A = B \cup C \cup D \,</math> และ <math>B, C, D</math> ไม่มีส่วนร่วมกันเป็นคู่ๆ เราได้ว่า <math>1 = \Pr(A) = \Pr(B) + \Pr(C) + \Pr(D)</math>
+เนื่องจาก <math>A = B \cup C \cup D \,</math> และ <math>B, C, D \,</math> ไม่มีส่วนร่วมกันเป็นคู่ๆ เราได้ว่า <math>1 = \Pr(A) = \Pr(B) + \Pr(C) + \Pr(D)</math>
 จากข้อ 1 เราทราบว่า <math>\Pr(D) = \frac{1}{2^{10}} {10 \choose 5}</math>

@@ แถว 32: / แถว 32: @@
 ผลลัพธ์ลักษณะข้างบนมีอยู่ <math>2^5 \,</math> แบบ เนื่องจากเมื่อเรากำหนดผลลัพธ์ของการโยนเหรียญครั้งที่ 1, 2, ..., 5 แล้ว เราก็ทราบผลลัพธ์ของการโยนเหรียญที่เหลืออีก 5 ครั้งโดยปริยาย
-ฉะนั้นความน่าจะเป็นที่จะโยนเหรียญได้ผลลัพธ์ทีมีเงื่อนไขตามโจทย์ คือ <math>\frac{2^5}{2^10} = \frac{1}{2^5}</math>
+ฉะนั้นความน่าจะเป็นที่จะโยนเหรียญได้ผลลัพธ์ทีมีเงื่อนไขตามโจทย์ คือ <math>\frac{2^5}{2^{10}} = \frac{1}{2^5}</math>
 == ข้อย่อย 4 ==

@@ แถว 1: / แถว 1: @@
 == ข้อย่อย 1 ==
-เนื่องจากเหรียญที่โยนเป็นเหรียญไม่ถ่วงน้ำหนัก ฉะนั้นผลลัพธ์ของการโยนเหรียญทั้งหมด <math>2^n</math> แบบจึีงมีความน่าจะเป็นเท่ากันคือ <math>1 / 2^n</math>
+เนื่องจากเหรียญที่โยนเป็นเหรียญไม่ถ่วงน้ำหนัก ฉะนั้นผลลัพธ์ของการโยนเหรียญทั้งหมด <math>2^n \,</math> แบบจึีงมีความน่าจะเป็นเท่ากันคือ <math>1 / 2^n \,</math>
 ถ้าจำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อยในการโยนเหรียญทั้งหมด 10 ครั้ง หมายความว่าเราโยนได้หัว 5 ครั้ง และโยนได้ก้อย 5 ครั้ง

@@ แถว 28: / แถว 28: @@
 == ข้อย่อย 3 ==
-เหตุการณ์ที่การโยนเหรียญครั้งที่ i และการโยนเหรียญครั้งที่ 11-i มีหน้าที่ออกเหมือนกัน สำหรับ 1=1,2,3,4,5 ก็คือ ครั้งที่ 1 และครั้งที่ 10 เหมือนกัน, ครั้งที่ 2 และครั้งที่ 9 เหมือนกัน
+ผลลัพธ์ที่การโยนเหรียญครั้งที่ i และการโยนเหรียญครั้งที่ 11-i มีหน้าที่ออกเหมือนกัน สำหรับ 1=1,2,3,4,5 ก็คือ ครั้งที่ 1 และครั้งที่ 10 เหมือนกัน, ครั้งที่ 2 และครั้งที่ 9 เหมือนกัน, ครั้งที่ 3 และครั้งที่ 8 เหมือนกัน, ครั้งที่ 4 และครั้งที่ 7 เหมือนกัน, ครั้งที่ 5 และครั้งที่ 6 เหมือนกัน ยกตัวอย่างเช่น HTTHTTHTTH หรือ TTHHTTHHTT (พูดแบบไม่เป็นทางการคือ อ่านจากหน้าไปหลังหรือหลังไปหน้าก็เหมือนกัน)
-, ครั้งที่ 3 และครั้งที่ 8 เหมือนกัน, ครั้งที่ 4 และครั้งที่ 7 เหมือนกัน, ครั้งที่ 5 และครั้งที่ 6 เหมือนกัน
+ผลลัพธ์ลักษณะข้างบนมีอยู่ <math>2^5 \,</math> แบบ เนื่องจากเมื่อเรากำหนดผลลัพธ์ของการโยนเหรียญครั้งที่ 1, 2, ..., 5 แล้ว เราก็ทราบผลลัพธ์ของการโยนเหรียญที่เหลืออีก 5 ครั้งโดยปริยาย
-จะมีลักษณะเช่น
+ฉะนั้นความน่าจะเป็นที่จะโยนเหรียญได้ผลลัพธ์ทีมีเงื่อนไขตามโจทย์ คือ <math>\frac{2^5}{2^10} = \frac{1}{2^5}</math>
 == ข้อย่อย 4 ==

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 08:02, 2 สิงหาคม 2552
แถว 24:		แถว 24:

	== ข้อย่อย 3 ==		== ข้อย่อย 3 ==
		+	เหตุการณ์ที่การโยนเหรียญครั้งที่ i และการโยนเหรียญครั้งที่ 11-i มีหน้าที่ออกเหมือนกัน สำหรับ 1=1,2,3,4,5 ก็คือ ครั้งที่ 1 และครั้งที่ 10 เหมือนกัน, ครั้งที่ 2 และครั้งที่ 9 เหมือนกัน
		+
		+	, ครั้งที่ 3 และครั้งที่ 8 เหมือนกัน, ครั้งที่ 4 และครั้งที่ 7 เหมือนกัน, ครั้งที่ 5 และครั้งที่ 6 เหมือนกัน
		+
		+	จะมีลักษณะเช่น
		+
		+	HTTHTTHTTH, TTHHTTHHTT ซึ่งมีลักษณะที่เรียกว่า palindrome นั่นเอง (พูดแบบไม่เป็นทางการคือ คำที่มีสมมาตรซ้ายขวา อ่านจากหน้าไปหลัง หรือหลังไปหน้าก็จะเหมือนกัน)
		+
		+	ดังนั้นความน่าจะเป็นของการโยนเหรียญที่ครั้งที่ i และการโยนเหรียญครั้งที่ 11-i มีหน้าที่ออกเหมือนกัน สำหรับ 1=1,2,3,4,5 ก็คือ <math>\frac{2^5}{2^{10}}</math>

	== ข้อย่อย 4 ==		== ข้อย่อย 4 ==

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 07:45, 2 สิงหาคม 2552
แถว 7:		แถว 7:

	<math>Pr(A_5)={10 \choose 5}(0.5)^5(0.5^5)={10 \choose 5}(0.5)^{10} </math>		<math>Pr(A_5)={10 \choose 5}(0.5)^5(0.5^5)={10 \choose 5}(0.5)^{10} </math>
		+
		+	== ข้อย่อย 2 ==
		+
		+	== ข้อย่อย 3 ==
		+
		+	== ข้อย่อย 4 ==