418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 4 - ประวัติรุ่นแก้ไข

Aoy: /* ข้อ 3 */

2009-08-03T19:30:33Z

ข้อ 3

Aoy: /* ข้อ 3 */

2009-08-03T19:29:59Z

ข้อ 3

Cardcaptor: /* ข้อ 1 */

2009-08-03T08:31:55Z

ข้อ 1

Cardcaptor: หน้าที่ถูกสร้างด้วย '== ข้อ 1 == ปัญหานี้คือปัญหา Coupon Collector Problem ฉะนั้นเราได้ว่า…'

2009-08-03T08:12:40Z

หน้าที่ถูกสร้างด้วย '== ข้อ 1 == ปัญหานี้คือปัญหา Coupon Collector Problem ฉะนั้นเราได้ว่า…'

หน้าใหม่

== ข้อ 1 ==
ปัญหานี้คือปัญหา Coupon Collector Problem ฉะนั้นเราได้ว่าจำต้องตึงไพ่ประมาณ <math>n H_n = \Theta(n \log n) \,</math> ใบจนกว่าจะเห็นไพ่ครบ

@@ แถว 16: / แถว 16: @@
 ให้ <math>X</math> เป็น random variable ที่มีค่าเท่ากับจำนวนไพ่ที่ไม่ที่ถูกดึงออกมาเพียงครั้งเดียวในการดึงทั้ง <math>2n \,</math> ครั้ง เราได้ว่า <math>X = X_1 + X_2 + \dotsb + X_n \,</math> ฉะนั้น <math>E[X] = E[X_1] + E[X_2] + \dotsb + E[X_n] \,</math>
-พิจารณาตัวแปรสุ่ม <math>X_i \,</math> แต่ละตัว เราได้ว่า <math>E[X_i] \,</math> มีค่าเท่ากับความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่ i ถูกดึงออกมาเพียงครั้งเดียวเท่านั้น เนื่องจากในการดึงแต่ละครั้ง
+พิจารณาตัวแปรสุ่ม <math>X_i \,</math> แต่ละตัว เราได้ว่า <math>E[X_i] \,</math> มีค่าเท่ากับความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่ i ถูกดึงออกมาเพียงครั้งเดียวเท่านั้น
 ในการดึงทั้ง <math>2n \,</math> เรามีวิธีกำหนดครั้งที่ไพ่ใบที่ i จะถูกดึงออกมาอยู่ได้ <math>2n \,</math> วิธี ในการดึงอีก <math>2n-1 \,</math> ครั้งที่เลือก แต่ละครั้งไพ่จะเป็นไพ่อะไรก็ได้ที่ไม่ใช่ไพ่หมายเลข i ดังนั้นจึงมีวิธีกรดึงไพ่ให้ไพ่ใบที่ i ถูกดึงออกมาเพียงครั้งเดียวอยู่ <math>2n (n-1)^{2n-1} = \frac{2n}{n-1} (n-1)^{2n}</math> วิธี เนื่องจากวิธีการดึงไพ่แบบต่างๆ มีความน่าจะเป็นเท่าๆ กันคือ <math>\frac{1}{n^{2n}}</math> เราได้ว่าความน่าจะเป็นที่ไพ่หมายเลข i จะถูกดึงออกมาเพียงครั้งเดียวมีค่าเท่ากับ <math>\frac{2n}{n-1} \frac{(n-1)^{2n}}{n^{2n}} = \frac{2n}{n-1} \bigg( 1 - \frac{1}{n} \bigg)^{2n} \approx 2e^{-2}</math>
 ฉะนั้น จำนวนไพ่ที่ถูกดึงออกเพียงหนึ่งครั้งโดยเฉลี่ยจึงมีค่าเท่ากับ <math>E[X] = n \frac{2n}{n-1} \bigg( 1 - \frac{1}{n} \bigg)^{2n} \approx \frac{2n}{e^{2}}</math>

@@ แถว 14: / แถว 14: @@
 ให้ <math>X_i</math> เป็น indicator random variable ที่ <math>X_i</math> มีค่าเป็น 1 ถ้าไพ่ใบที่ i ถูกเลือกออกมาจากกองเพียงครั้งเดียวเท่านั้น
-ให้ <math>X</math> เป็น random variable ที่มีค่าเท่ากับจำนวนไพ่ที่ไม่เคยถูกดึงออกมาเลยในการดึงทั้ง <math>2n \,</math> ครั้ง เราได้ว่า <math>X = X_1 + X_2 + \dotsb + X_n \,</math> ฉะนั้น <math>E[X] = E[X_1] + E[X_2] + \dotsb + E[X_n] \,</math>
+ให้ <math>X</math> เป็น random variable ที่มีค่าเท่ากับจำนวนไพ่ที่ไม่ที่ถูกดึงออกมาเพียงครั้งเดียวในการดึงทั้ง <math>2n \,</math> ครั้ง เราได้ว่า <math>X = X_1 + X_2 + \dotsb + X_n \,</math> ฉะนั้น <math>E[X] = E[X_1] + E[X_2] + \dotsb + E[X_n] \,</math>
 พิจารณาตัวแปรสุ่ม <math>X_i \,</math> แต่ละตัว เราได้ว่า <math>E[X_i] \,</math> มีค่าเท่ากับความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่ i ถูกดึงออกมาเพียงครั้งเดียวเท่านั้น เนื่องจากในการดึงแต่ละครั้ง

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 08:31, 3 สิงหาคม 2552
แถว 1:		แถว 1:
	== ข้อ 1 ==		== ข้อ 1 ==
	ปัญหานี้คือปัญหา Coupon Collector Problem ฉะนั้นเราได้ว่าจำต้องตึงไพ่ประมาณ <math>n H_n = \Theta(n \log n) \,</math> ใบจนกว่าจะเห็นไพ่ครบ		ปัญหานี้คือปัญหา Coupon Collector Problem ฉะนั้นเราได้ว่าจำต้องตึงไพ่ประมาณ <math>n H_n = \Theta(n \log n) \,</math> ใบจนกว่าจะเห็นไพ่ครบ
		+
		+	== ข้อ 2 ==
		+	ให้ <math>X_i</math> เป็น indicator random variable ที่ <math>X_i</math> มีค่าเป็น 1 ถ้าไพ่ใบที่ i ไม่เคยถูกดึงออกมาเลยในการดึงทั้ง <math>2n \,</math> ครั้ง
		+
		+	ให้ <math>X</math> เป็น random variable ที่มีค่าเท่ากับจำนวนไพ่ที่ไม่เคยถูกดึงออกมาเลยในการดึงทั้ง <math>2n \,</math> ครั้ง เราได้ว่า <math>X = X_1 + X_2 + \dotsb + X_n \,</math> ฉะนั้น <math>E[X] = E[X_1] + E[X_2] + \dotsb + E[X_n] \,</math>
		+
		+	พิจารณาตัวแปรสุ่ม <math>X_i \,</math> แต่ละตัว เราได้ว่า <math>E[X_i] \,</math> มีค่าเท่ากับความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่ i ไม่เคยถูกดึงออกมาเลยในการดึง <math>2n \,</math> ครั้ง เนื่องจากในการดึงแต่ละครั้ง ไพ่ใบที่ i มีโอการไม่ถูกเลือกเท่ากับ <math>1 - \frac{1}{n} \,</math> เราได้ว่าความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่ i จะไม่ถูกถึงเลยตลอดการดึงไพ่ <math>2n \,</math> ครั้งมีค่าเท่ากับ <math>\bigg( 1 - \frac{1}{n} \bigg)^{2n} \approx e^{-2}</math>
		+
		+	ฉะนั้น จำนวนไพ่ที่ไม่ถูกดึงออกมาเลยโดยเฉลี่ยจึงมีค่าเท่ากับ <math>E[X] = n \bigg( 1 - \frac{1}{n} \bigg)^{2n} \approx \frac{n}{e^{2}}</math>
		+
		+	== ข้อ 3 ==
		+	ให้ <math>X_i</math> เป็น indicator random variable ที่ <math>X_i</math> มีค่าเป็น 1 ถ้าไพ่ใบที่ i ถูกเลือกออกมาจากกองเพียงครั้งเดียวเท่านั้น
		+
		+	ให้ <math>X</math> เป็น random variable ที่มีค่าเท่ากับจำนวนไพ่ที่ไม่เคยถูกดึงออกมาเลยในการดึงทั้ง <math>2n \,</math> ครั้ง เราได้ว่า <math>X = X_1 + X_2 + \dotsb + X_n \,</math> ฉะนั้น <math>E[X] = E[X_1] + E[X_2] + \dotsb + E[X_n] \,</math>
		+
		+	พิจารณาตัวแปรสุ่ม <math>X_i \,</math> แต่ละตัว เราได้ว่า <math>E[X_i] \,</math> มีค่าเท่ากับความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่ i ถูกดึงออกมาเพียงครั้งเดียวเท่านั้น เนื่องจากในการดึงแต่ละครั้ง
		+
		+	ในการดึงทั้ง <math>2n \,</math> เรามีวิธีกำหนดครั้งที่ไพ่ใบที่ i จะถูกดึงออกมาอยู่ได้ <math>2n \,</math> วิธี ในการดึงอีก <math>2n-1 \,</math> ครั้งที่เลือก แต่ละครั้งไพ่จะเป็นไพ่อะไรก็ได้ที่ไม่ใช่ไพ่หมายเลข i ดังนั้นจึงมีวิธีกรดึงไพ่ให้ไพ่ใบที่ i ถูกดึงออกมาเพียงครั้งเดียวอยู่ <math>2n (n-1)^{2n-1} = \frac{2n}{n-1} (n-1)^{2n}</math> วิธี เนื่องจากวิธีการดึงไพ่แบบต่างๆ มีความน่าจะเป็นเท่าๆ กันคือ <math>\frac{1}{n^{2n}}</math> เราได้ว่าความน่าจะเป็นที่ไพ่หมายเลข i จะถูกดึงออกมาเพียงครั้งเดียวมีค่าเท่ากับ <math>\frac{2n}{n-1} \frac{(n-1)^{2n}}{n^{2n}} = \frac{2n}{n-1} \bigg( 1 - \frac{1}{n} \bigg)^{2n} \approx 2e^{-2}</math>
		+
		+	ฉะนั้น จำนวนไพ่ที่ถูกดึงออกเพียงหนึ่งครั้งโดยเฉลี่ยจึงมีค่าเท่ากับ <math>E[X] = n \frac{2n}{n-1} \bigg( 1 - \frac{1}{n} \bigg)^{2n} \approx \frac{2n}{e^{2}}</math>