418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 8 - ประวัติรุ่นแก้ไข

Cardcaptor: /* ข้อ 4 */

2009-08-03T09:41:01Z

ข้อ 4

Cardcaptor: /* ข้อ 1 */

2009-08-03T09:40:51Z

ข้อ 1

Cardcaptor: หน้าที่ถูกสร้างด้วย '== ข้อ 1 == เราได้ว่า $E[X_0] = X_0 = S \,$ พิจารณา $E[X_n\ |\ X_{n-1} = c] \,$
2009-08-03T09:30:42Z

หน้าที่ถูกสร้างด้วย '== ข้อ 1 == เราได้ว่า <math>E[X_0] = X_0 = S \,</math> พิจารณา <math>E[X_n\ |\ X_{n-1} = c] \,</mat…'

หน้าใหม่
== ข้อ 1 ==
เราได้ว่า <math>E[X_0] = X_0 = S \,</math>

พิจารณา <math>E[X_n\ |\ X_{n-1} = c] \,</math> เราได้ว่า <math>E[X_n\ |\ X_{n-1} = c] = \frac{1}{2} \cdot 2c + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{4} = \frac{9}{8}c \,</math>

ฉะนั้น จาก law of total expectation, <math>E[X_n] = \sum_{c} \Pr(X_{n-1} = c) E[X_n\ |\ X_{n-1} = c] = \sum_{c} \Pr(X_{n-1} = c) \cdot \frac{9}{8}c = \frac{9}{8} \sum_c c \Pr(X_{n-1} = c) = \frac{9}{8} E[X_{n-1}]</math>

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 09:41, 3 สิงหาคม 2552
แถว 23:		แถว 23:
	เนื่องจาก <math>X \,</math> เป็นตัวแปรสุ่มแบบ binomial เราได้ว่า <math>\mathrm{Var}[X] = n \cdot \frac{1}{2} \cdot \bigg( 1 - \frac{1}{2} \bigg) = \frac{1}{4} </math>		เนื่องจาก <math>X \,</math> เป็นตัวแปรสุ่มแบบ binomial เราได้ว่า <math>\mathrm{Var}[X] = n \cdot \frac{1}{2} \cdot \bigg( 1 - \frac{1}{2} \bigg) = \frac{1}{4} </math>

−	ความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะไม่ขาดทุนมีค่าเท่ากับ <math>\Pr(X \geq 2n/3) \leq \Pr( \|X - n/2\| \geq n/6) \,</math> จากอสมการของมาร์คอฟ เราได้ว่า <math>\Pr(X \geq 2n/3) \leq \Pr( \|X - n/2\| geq n/6) \leq \frac{n/4}{n^2/36} = \frac{9}{n} \,</math>	+	ความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะไม่ขาดทุนมีค่าเท่ากับ <math>\Pr(X \geq 2n/3) \leq \Pr( \|X - n/2\| \geq n/6) \,</math> จากอสมการของมาร์คอฟ เราได้ว่า <math>\Pr(X \geq 2n/3) \leq \Pr( \|X - n/2\| \geq n/6) \leq \frac{n/4}{n^2/36} = \frac{9}{n} \,</math>

←รุ่นแก้ไขก่อนหน้า		รุ่นแก้ไขเมื่อ 09:40, 3 สิงหาคม 2552
แถว 5:		แถว 5:

	ฉะนั้น จาก law of total expectation, <math>E[X_n] = \sum_{c} \Pr(X_{n-1} = c) E[X_n\ \|\ X_{n-1} = c] = \sum_{c} \Pr(X_{n-1} = c) \cdot \frac{9}{8}c = \frac{9}{8} \sum_c c \Pr(X_{n-1} = c) = \frac{9}{8} E[X_{n-1}]</math>		ฉะนั้น จาก law of total expectation, <math>E[X_n] = \sum_{c} \Pr(X_{n-1} = c) E[X_n\ \|\ X_{n-1} = c] = \sum_{c} \Pr(X_{n-1} = c) \cdot \frac{9}{8}c = \frac{9}{8} \sum_c c \Pr(X_{n-1} = c) = \frac{9}{8} E[X_{n-1}]</math>
		+
		+	ด้วยเหตุนี้เราสามารถสรุปได้ว่า <math>E[X_n] = \bigg( \frac{9}{8} \bigg)^n S</math> สำหรับจำนวนเต็ม <math>n \,</math> ที่ไม่เป็นลบทุกตัว
		+
		+	== ข้อ 2 ==
		+	สมมติว่าโยนเหรียญแล้วขึ้นหัว <math>k \,</math> ครั้ง แสดงว่าขึ้นก้อย <math>n-k \,</math> ครั้ง และได้ว่าหลังจบเกม ผู้เล่นจะมีเงินเหลือ <math>2^k \cdot 4^{k-n} \cdot S = 2^{3k-2n} S</math> หน่วย
		+
		+	ถ้าผู้เล่นจะไม่ขาดทุน หมายความว่า <math>2^{3k-2n}S \geq S \,</math> กล่าวคือ <math>2^{3k-2n} \geq 1 \,</math> หรือ <math>3k-2n \geq 0 \,</math> ซึ่งหมายความว่า <math>k \geq \frac{2n}{3} \,</math>
		+
		+	สรุปได้ว่าจะต้องมีการโยนหัวอย่างน้อย <math>2n/3\,</math> ครั้ง
		+
		+	== ข้อ 3 ==
		+	ให้ <math>X \,</math> แทนจำนวนหัวที่โยนเหรียญได้ เราได้ว่า <math>X \,</math> เป็นตัวแปรสุ่มแบบ binomial ที่มี parameter <math>p = 1/2 \,</math> ฉะนั้น <math>E[X] = n/2 \,</math>
		+
		+	ความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะไม่ขาดทุนมีค่าเท่ากับ <math>\Pr(X \geq 2n/3) \,</math> จากอสมการของมาร์คอฟ เราได้ว่า <math>\Pr(X \geq 2n/3) \leq \frac{n/2}{2n/3} = \frac{3}{4} \,</math>
		+
		+	== ข้อ 4 ==
		+	เนื่องจาก <math>X \,</math> เป็นตัวแปรสุ่มแบบ binomial เราได้ว่า <math>\mathrm{Var}[X] = n \cdot \frac{1}{2} \cdot \bigg( 1 - \frac{1}{2} \bigg) = \frac{1}{4} </math>
		+
		+	ความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะไม่ขาดทุนมีค่าเท่ากับ <math>\Pr(X \geq 2n/3) \leq \Pr( \|X - n/2\| \geq n/6) \,</math> จากอสมการของมาร์คอฟ เราได้ว่า <math>\Pr(X \geq 2n/3) \leq \Pr( \|X - n/2\| geq n/6) \leq \frac{n/4}{n^2/36} = \frac{9}{n} \,</math>