ให้ 
และ 
เป็น vertex ใดๆ ในกราฟแล้ว เราจะได้ว่ามีความเป็นไปได้สองกรณีด้วยกัน คือ
- DFS(u) ถูกเรียกให้ทำงานก่อน DFS(v)
- DFS(v) ถูกเรียกให้ทำงานก่อน DFS(u)
พิจารณากรณีที่ DFS(u) ถูกเรียกให้ทำงานก่อน DFS(v) ในกรณีนี้เราจะได้ว่า ![{\displaystyle \mathrm {pre} [u]<\mathrm {pre} [v]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f371b237a0a203af543e3a11d0ba1766d6c91575)
และในกรณีนี้มีความเป็นไปได้สองกรณีด้วยกันคือ
![{\displaystyle \mathrm {post} [u]<\mathrm {pre} [v]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a2667b2739a4eaf62353703ac4dfa20dc27654)
![{\displaystyle \mathrm {post} [u]>\mathrm {pre} [v]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35751cc7afa669235fe266debfc5010c73889539)
ในกรณีที่ 1 เราได้ว่า ![{\displaystyle \mathrm {pre} [u]<\mathrm {post} [u]<\mathrm {pre} [v]<\mathrm {post} [v]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9219bde613438b33fbbca1ceece1724033f7c7dc)
ซึ่งหมายความว่าช่วง ![{\displaystyle [\mathrm {pre} [u],\mathrm {post} [u]]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8f747d4396f9e0518a50c30615449916d38bd29)
และช่วง ![{\displaystyle [\mathrm {pre} [v],\mathrm {post} [v]]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fed6804f99f57a3e4c2241136a53c3bb2e191f7e)
ไม่มีสมาชิกร่วมกันเลย ซึ่งตรงกับข้อความหนึ่งในสามข้อในโจทย์
ในกรณีที่ 2 เราได้ว่า ![{\displaystyle \mathrm {pre} [u]<\mathrm {pre} [v]<\mathrm {post} [u]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55eb1e5cc8ca6e1fac734c3a45ed61f185a4d156)
หมายความว่า DFS(v) ถูกเรียกให้ทำงานระหว่าง DFS(u) กำลังทำงานอยู่
ฉะนั้น DFS(v) จะต้องทำงานเสร็จก่อน DFS(u) จะทำงานเสร็จ ด้วยเหตุนี้เราจะได้ว่า ![{\displaystyle \mathrm {post} [v]<\mathrm {post} [u]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd9a1b343df416653958335cfb711a4cb7e3707)
กล่าวคือ
![{\displaystyle \mathrm {pre} [u]<\mathrm {pre} [v]<\mathrm {post} [v]<\mathrm {post} [u]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ff206bf4f368bf78732711c0de3d6e9fea6020)
ซึ่งตรงกับข้อความหนึ่งในสามข้อในโจทย์
เราสามารถพิสูจน์กรณีที่ DFS(v) ถูกเรียกให้ทำงานก่อน DFS(u) ได้โดยการใช้เหตุผลแบบเดียวกับข้างบน เพียงแต่สลับบทบาทของ กับ เท่านั้น
