เฉลย

ข้อย่อย 1

สูตรคือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 654534101
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:25 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

base case: ให้ $n=1$

${\frac {1}{2^{1}}}={\frac {2^{1}-1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}$ เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือสมมติให้ p(n) คือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 718966604
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:26 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$ เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า p(n+1) คือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 709372996
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:26 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {2^{n+1}-1}{2^{n+1}}}$ เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติไว้คือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 693288605
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:27 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

บวกทั้งสองข้างของสมการด้วย ${\frac {1}{2^{n+1}}}$

จะได้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 692336299
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:28 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 700593730
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:28 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$={\frac {2}{2}}.{\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

$={\frac {2^{n+1}-2}{2^{n+1}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

$={\frac {2^{n+1}-1}{2^{n+1}}}$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 679234644
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:29 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

ข้อย่อย 2

สูตรคือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 715759068
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:29 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$

base case: ให้ $n=1$

${\frac {1}{1(1+1)}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}$ เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือสมมติให้ p(n)คือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 726272311
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:30 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$ เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 694729498
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:30 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}={\frac {n+1}{n+2}}$ เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติไว้คือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 721947661
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:31 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$

บวก ${\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$ ทั้งสองข้างของสมการ

จะได้ ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}={\frac {n}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 714218844
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:32 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$={\frac {n}{(n+1)}}.{\frac {(n+2)}{(n+2)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$

$={\frac {(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)}}$

$={\frac {(n+1)}{(n+2)}}$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$ เป็นจริง

ข้อย่อย 3

(Base Case) เนื่องจาก

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 726598573
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:33 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$n=0\,$ เราได้ว่า

(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 651292000 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:33 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $1^{2}+3^{2}+\dotsb +(2(n+1)+1)^{2}\,$		Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 723651672 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:34 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $(1^{2}+3^{2}+\dotsb +(2n+1)^{2})+(2n+3)^{2}\,$
	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 709012616 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:13:03 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 ${\frac {(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}}+(2n+3)^{2}\,$
	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 659645068 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:35 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $(2n+3){\bigg [}{\frac {(n+1)(2n+1)}{3}}+(2n+3){\bigg ]}\,$
	$=\,$	$(2n+3){\bigg [}{\frac {2n^{2}+3n+1+3(2n+3)}{3}}{\bigg ]}\,$
	$=\,$	$(2n+3){\bigg [}{\frac {2n^{2}+9n+10}{3}}{\bigg ]}\,$
	$=\,$
	$=\,$	${\frac {((n+1)+1)((2(n+1)+1)(2(n+1)+3)}{3}}\,$

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน

ข้อย่อย 4

base case: คือ n=5 แทนค่าจะได้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 693027056
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:37 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2^{5}>5^{2}$ เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือ สมมติให้ p(n) คือ $2^{n}>n^{2}$ เป็นจริง ต้องการแสดงว่า $2^{n+1}>(n+1)^{2}$ เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติ $2^{n}>n^{2}$

คูณ 2 ทั้งสองข้างของสมการจะได้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 655255529
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:38 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2.2^{n}>2.n^{2}$

เนื่องจาก n>4

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 727122900
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:13:08 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$\geq n^{2}+2n+1$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 707569918
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:38 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$=(n+1)^{2}$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า $2^{n}>n^{2}$ เป็นจริง เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 4

ข้อย่อย 5

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 2 และเราได้ว่า $1+1/4=5/4<3/2=2-1/2\,$

(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 2 และให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

	$=\,$	$(1+{\frac {1}{4}}+\dotsb +{\frac {1}{n^{2}}})+{\frac {1}{(n+1)^{n}}}\,$
	$<\,$
	$<\,$	$2-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n(n+1)}}\,$
	$=\,$
	$=\,$
		$2-{\frac {1}{n+1}}\,$

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง ทุกจำนวน

ข้อย่อย 6

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 0 และเราได้ว่า ซึ่งหารด้วย 6 ได้ลงตัว

(Induction Case) สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และสมมติให้ $n^{3}-n$ หารด้วย 6 ลงตัว

พิจารณาค่า

เราได้ว่า 6 หาร $3n(n+1)$ ลงตัวเนื่องจาก 3 หาร $3n(n+1)$ ลงตัว นอกจากนี้ 2 ยังหาร $3n(n+1)$ ลงตัวเนื่องจากในค่า $n$ และ ลงตัว จะต้องมีสักตัวที่เป็นจำนวนคู่

เนื่องจาก 6 หารทั้ง $n^{3}-n$ และ ลงตัว เราจึงได้ว่า 6 หาร $(n^{3}-n)+3n(n+1)=(n+1)^{3}-(n+1)$ ลงตัวด้วย

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า 6 หาร ลงตัวสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน

ข้อย่อย 7

ก่อนเราจะทำการพิสูจน์ข้อความในโจทย์ เราจะทำการพิสูจน์ lemma ต่อไปนี้

lemma: ให้ $A\,$, ,

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 714546000
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:43 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$C\,$ และ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 721064235
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:43 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$D\,$ เป็นเซตใดๆ ที่ $A\subseteq C\,$ และ แล้ว $A\cap B\subseteq C\cap D$

พิสูจน์ (lemma): ให้ x เป็นค่าใดๆ สมมติให้ $x\in A\cap B$ เราได้ว่า และ $x\in B$

เนื่องจาก $A\subseteq C$ และ $B\subseteq D$ เราได้ว่า $x\in C$ และ ด้วย ดังนั้น $x\in C\cap D$

เนื่องจาก x เป็นค่าใดๆ เราจึงสามารถสรุปได้ว่า ฉะนั้น $A\cap B\subseteq C\cap D$

พิสูจน์ (โจทย์)

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 ในกรณีนี้เราได้ว่า

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้ข้อความที่โจทย์ต้องการพิสูจน์เป็นจริง

เราได้ว่า $\bigcap _{i=1}^{n+1}A_{i}=A_{n+1}\cap \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$ และ

โจทย์กำหนดว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 724666989
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:12:46 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$A_{n+1}\subseteq B_{n+1}$ และจาำกสมมติฐานเราได้ว่า $\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A\bigcap _{i=1}^{n}B_{i}\,$ ฉะนั้นด้วย lemma เราได้ว่า

ฉะนั้นเราจึงสรุปได้ว่าข้อความในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกค่า

ข้อย่อย 8

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราจะได้ว่า

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง ได้ว่า

	$=\,$	$(1\cdot 2^{0}+2\cdot 2^{1}+\dotsb +n\cdot 2^{n-1})+(n+1)\cdot 2^{n}\,$
	$=\,$
	$=\,$	$(2n)\cdot 2^{n}+1\,$
		$n\cdot 2^{n+1}+1\,$

ดังนั้นเราสรุปได้ว่าสมการเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

ข้อ 9

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราได้ว่า ซึ่งหารด้วย 21 ลงตัว

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้ $4^{n+1}+5^{2n-1}$ หารด้วย 21 ลงตัว

เราได้ว่า $4^{n+2}+5^{2n+1}=4\cdot 4^{n+1}+25\cdot 5^{2n-1}=(25-21)4^{n+1}+25\cdot 5^{2n-1}=25(4^{n+1}+5^{2n-1})+21\cdot 4^{n+1}$

จากสมมติฐาน เราได้ว่า 21 หาร $4^{n+1}+5^{2n-1}$ ลงตัว ดังนั้นมันจึงหาร $25(4^{n+1}+5^{2n-1})$ ลงตัว และเนื่องจาก 21 หาร

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 709634519
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 08:13:32 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$21\cdot 4^{n+1}$ ลงตัว เราจึงได้ว่า 21 หาร $25(4^{n+1}+5^{2n-1})+21\cdot 4^{n+1}=4^{n+2}+5^{2n+1}$

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่า 21 หาร $4^{n+1}+5^{2n-1}$ ลงตัวสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

ข้อ 10

lemma: สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ $2{\sqrt {n+1}}+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}>2{\sqrt {n+2}}$

พิสูจน์ (lemma): เราได้ว่า

	$>\,$
$({\sqrt {n+2}}+{\sqrt {n+1}}){\frac {{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n+1}}}{{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n+1}}}}$	$>\,$	$2{\sqrt {n+1}}$
${\frac {1}{{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n+1}}}}$	$>\,$	$2{\sqrt {n+1}}$
${\frac {1}{\sqrt {n+1}}}$	$>\,$	$2{\sqrt {n+2}}-2{\sqrt {n+1}}$
$2{\sqrt {n+1}}+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}$	$>\,$

พิสูจน์ (โจทย์)

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 เราได้ว่า $1>0.82842712474619029\dotsb =2({\sqrt {1+1}}-1)\,$

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้อสมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าอสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกตัว