ดูต้นฉบับสำหรับ 418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ I/เฉลยข้อ 6

== ข้อ 1 ==
<math>(\rightarrow)</math> สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มคู่ ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ <math>n = 2k</math> เราจะได้ว่า <math>n^3 = (2k)^3 = 8k^3 = 2(4k^3)</math> ดังนั้น <math>n^3</math> ก็เป็นจำนวนเต็มคู่ด้วยเช่นกัน

<math>(\leftarrow)</math> สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มคี่ ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ <math>n = 2k+1</math> เราจะได้ว่า <math>n^3 = (2k+1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 = 2(4k^3 + 6k^2 + 3k) + 1</math> ดังนั้น <math>n^3</math> ก็เป็นจำนวนเต็มคี่ด้วยเช่นกัน

== ข้อ 2 ==
ให้ x เป็นจำนวนจริงใดๆ เราจะแสดงว่ามีจำนวนเต็ม y ที่ทำให้ <math>x+y = xy</math> ก็ต่อเมื่อ <math>x \neq 1</math>

<math>(\rightarrow)</math> สมมติว่า <math>x = 1</math> เราได้ว่า <math>1+y = y</math> เกิดข้อขัดแย้งไม่มี y จะมีค่าเท่าใดก็ตาม ฉะนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าถ้ามีจำนวนเต็ม y ที่ทำให้ <math>x+y = xy</math> แล้ว <math>x \neq 1</math>

<math>(\leftarrow)</math> สมมติว่า <math>x \neq 1</math> ให้ <math>y = \frac{x}{x-1}</math> เราได้ว่า 
<table>
<tr>
<td align="right"><math>x+y \,</math></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>x + \frac{x}{x-1} \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>\frac{(x^2 - x) + x}{x-1} \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>\frac{x^2}{x-1} \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>x \frac{x}{x-1} \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>xy \,</math></td>
</tr>
</table>

== ข้อ 3 ==
<math>(\rightarrow)</math> สมมติให้ <math>A \subseteq B</math> และสมมติให้ <math>X</math> เป็นสมาชิกใดๆ ของ <math>P(A)</math> เราได้ว่า <math>X \subseteq A</math>

เนื่องจาก <math>A \subseteq B</math> เราได้ว่า <math>X \subseteq B</math> ด้วย ฉะนั้น <math>X \in P(B)</math>

เนื่องจาก <math>X</math> เป็นสมาชิกใดๆ ของ <math>P(A)</math> เราจึงสรุปได้ว่า <math>P(A) \subseteq P(B)</math>

<math>(\leftarrow)</math> สมมติให้ <math>A \not\subseteq B</math> แสดงว่ามีสมาชิก <math>x \,</math> อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ <math>x \in A</math> แต่ <math>x \not\in B</math>

เราได้ว่า <math>\{ x \} \subseteq A</math> ดังนั้น <math>\{ x \} \in P(A)</math> แต่ <math>\{ x \} \not\subseteq B</math> ดังนั้น <math>\{ x \} \not\in P(B)</math>

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่า <math>P(A) \not\subseteq P(B)</math>

== ข้อ 4 ==
เราจะใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้: 
: '''ทฤษฏีบท''' ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะและถ้า p หาร mn ลงตัวเมื่อ m และ n เป็นจำนวนเต็มแล้ว p หาร m หรือ p หาร n ลงตัว

<math>(\rightarrow)</math> สมมติว่า 15 หาร n ลงตัว ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ <math>n = 15k</math> เราได้ว่า <math>n = 3(5k) = 5(3k)</math> ดังนั้น 3 หาร n ลงตัวและ 5 หาร n ตัว

<math>(\leftarrow)</math> สมมติให้ 3 หาร n ลงตัวและ 5 หาร n ลงตัว ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ <math>n = 3k</math>

เนื่องจาก 5 หาร n ลงตัว 5 ต้องหาร 3k ลงตัวด้วย

ใช้ทฤษฎีบทข้างบน เราได้ว่า 5 ต้องหาร 3 ลงตัว หรือไม่ 5 ต้องหาร k ลงตัว แต่เนื่องจาก 5 หาร 3 ไม่ลงตัว เราได้ว่า 5 ต้องหา k ลงตัว ฉะนั้นให้ m เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ <math>k = 5m</math> กล่าวคือ <math>n = 3k = 3(5m) = 15m</math> ดังนั้น 15 หาร n ลงตัว

== ข้อ 5 ==
ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม ให้ c = ab เราจะได้ว่า a หาร c ลงตัว และ b หาร c ลงตัว