ผลต่างระหว่างรุ่นของ "VC-SNDP:spider decomposition"

จาก Theory Wiki
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
แถว 10: แถว 10:
 
* key lemma คือ '''Lemma 4.3''' ที่แสดงว่ามีจากทุก ๆ terminal มี set ของ internal vertex disjoint path ไปยัง terminal อื่น ๆ  ที่ cost รวมไม่เกิน 2 เท่าของ opt, lemma นี้พิสูจน์ได้โดยแสดงว่ามี spider decomposition
 
* key lemma คือ '''Lemma 4.3''' ที่แสดงว่ามีจากทุก ๆ terminal มี set ของ internal vertex disjoint path ไปยัง terminal อื่น ๆ  ที่ cost รวมไม่เกิน 2 เท่าของ opt, lemma นี้พิสูจน์ได้โดยแสดงว่ามี spider decomposition
 
* spider decomposition พิสูจน์ด้วย Reduction Lemma
 
* spider decomposition พิสูจน์ด้วย Reduction Lemma
 +
 +
'''ข้อสังเกต''': จาก Lemma 4.3 มา Theorem 4.2 เสียไป <math>k</math>
  
 
== Decomposition ==
 
== Decomposition ==

รุ่นแก้ไขเมื่อ 08:57, 25 กุมภาพันธ์ 2552

This page describes spider decompositions and the approach of Chuzhoy Khanna and Chekuri and Korula in tackling the single-source k sndp.

ให้กราฟ เซตของ terminals T และจำนวนเต็มบวก เรียกโหนดใน T ว่าเป็น black vertices, นอกจากนั้นเป็น white vertices.

Spider คือ tree ที่มีโหนดที่มีดีกรีมากกว่าสองไม่เกิน 1 จุดยอด ถ้ามี vertex ดังกล่าว จะเรียกว่าเป็น head ถ้าไม่มี spider จะเป็น path และจะสามารถเรียกโหนดใดเป็น head ก็ได้; เรียกจุดยอดที่ไม่ใช่ leaf และ head ว่า intermediate vertex, เรียก leaf ว่า foot, เรียก path จาก head ไป leaf ว่า leg

ภาพรวม (ตาม Chekuri-Korula)

  • อัลกอริทึมใช้ greedy augmentation บนลำดับแบบสุ่มของ terminal
  • cost พิสูจน์ด้วย Theorem 4.2 ที่แสดงว่า cost ในการทำ augmentation จากทุกโหนด ไม่เกิน
  • key lemma คือ Lemma 4.3 ที่แสดงว่ามีจากทุก ๆ terminal มี set ของ internal vertex disjoint path ไปยัง terminal อื่น ๆ ที่ cost รวมไม่เกิน 2 เท่าของ opt, lemma นี้พิสูจน์ได้โดยแสดงว่ามี spider decomposition
  • spider decomposition พิสูจน์ด้วย Reduction Lemma

ข้อสังเกต: จาก Lemma 4.3 มา Theorem 4.2 เสียไป

Decomposition

Chuzhoy และ Khanna ได้ใช้ spider decomposition ในการพิสูจน์ approximation algorithm สำหรับ ss-k-sndp อย่างไรก็ตามในที่นี้เราจะใช้ decomposition ที่ weak กว่าของ Chekuri และ Korula

Chekuri-Korula [Theorem 4.4] แสดงว่า ให้กราฟ G ที่ทุก ๆ คู่ของจุดยอดสีดำ k-element connected, มีสับกราฟ H ของ G ที่สามารถ partition เป็น spiders ที่

  1. ทุก ๆ leaf เป็น black vertex และ ทุก ๆ intermediate vertex เป็น white vertex (สังเกตว่า head เป็น black vertex ได้)
  2. ทุก ๆ black vertex เป็น foot ของ k spiders พอดี, และ ทุก ๆ white vertex อยู่ใน 1 spider เท่านั้น
  3. สำหรับกรณีที่ spider มี white vertex เป็น head จะต้องมี leg อย่างน้อย 2 legs

ด้านล่างแสดงตัวอย่างของ spiders

Spiders.png

spider decomposition กับ set ของ paths

พิจารณา spider แต่ละตัว เราจะพบว่าเราสามารถหาเซตของ path จากแต่ละ foot หนึ่ง ๆ ไปยังอีก foot ใด ๆ ได้ โดยที่ค่าใช้จ่ายรวมไม่เกิน 2 เท่าของ cost ของ spider (ดูรูป)

Spiders-paths.png

ดังนั้น ถ้าเรามี spider decomposition เราจะได้ว่าเราสามารถหา, สำหรับทุก ๆ terminal , set of internally vertex disjoint paths ที่ เพราะว่า

  • สังเกตว่า white vertex ไม่ share กันระหว่าง spider
  • ทุก ๆ black vertex เป็น leg ของ k spiders (ดังนั้นดึงมาตัวละ path)

ด้านบนคือหัวใจของบทพิสูจน์ของ Lemma 4.3 ใน Chekuri-Korula

บทพิสูจน์: มี spider decomposition

ส่วนนี้จะมาเขียนทีหลัง

โดย induction บนจำนวน edge ระหว่าง white vertices ใน G ใน base case ให้กราฟ G ไม่มี edge ดังกล่าวเลย จะได้ว่า G เป็น bipartite. ( edge ระหว่าง black vertices ก็ไม่มีด้วย) เนื่องจากแต่ละคู่ของ black vertices เป็น k-element connected แสดงว่าแต่ละ black vertex จะต้องมีอย่างน้อย k white vertices ที่ติดกับมัน

เราจะสร้าง set of spiders โดยให้แต่ละโหนด b

Approximating SS-k-VC-SNDP

ในส่วนนี้จะอธิบายอัลกอริทึมตามที่ปรากฎใน Chekuri-Korula

ให้กราฟ เซตของ terminals และ root

สำหรับสับเซตของ terminals ใด ๆ และ terminal , เราจะกล่าวว่า เซตของ paths เป็น augmentation for w.r.t. ถ้า

  • path เริ่มที่ t ไปถึงโหนดใน
  • path เหล่านั้น internally vertex disjoint,
  • terminal ใน เป็นจุดปลายได้แค่ path เดียว

อัลกอริทึมเป็นดังนี้

1. สุ่มลำดับ terminal ให้เป็น 
2. ให้ H เป็นกราฟว่าง
3. พิจารณา 
   3.1 หา min-cost augmentation for  w.r.t.  เมื่อ 
   3.2 นำผลลัพธ์ที่ได้ใส่ใน H
4. output H

ความถูกต้อง

เก็บไว้เป็นการบ้านก่อนแล้วกันนะ ;)

ค่าใช้จ่าย

key หลักในการพิสูจน์เกี่ยวกับค่าใช้จ่ายคือ Theorem 4.2 ดังแสดงด้านล่าง

Theorem 4.2

Reduction lemma

Proof of the spider decomposition with the reduction lemma