418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ I/เฉลยข้อ 6

ข้อ 1

$(\rightarrow )$ สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มคู่ ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $n=2k$ เราจะได้ว่า $n^{3}=(2k)^{3}=8k^{3}=2(4k^{3})$ ดังนั้น $n^{3}$ ก็เป็นจำนวนเต็มคู่ด้วยเช่นกัน

$(\leftarrow )$ สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มคี่ ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $n=2k+1$ เราจะได้ว่า $n^{3}=(2k+1)^{3}=8k^{3}+12k^{2}+6k+1=2(4k^{3}+6k^{2}+3k)+1$ ดังนั้น $n^{3}$ ก็เป็นจำนวนเต็มคี่ด้วยเช่นกัน