418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ I/เฉลยข้อ 6

ข้อ 1

$(\rightarrow )$ สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มคู่ ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $n=2k$ เราจะได้ว่า $n^{3}=(2k)^{3}=8k^{3}=2(4k^{3})$ ดังนั้น $n^{3}$ ก็เป็นจำนวนเต็มคู่ด้วยเช่นกัน

$(\leftarrow )$ สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มคี่ ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $n=2k+1$ เราจะได้ว่า $n^{3}=(2k+1)^{3}=8k^{3}+12k^{2}+6k+1=2(4k^{3}+6k^{2}+3k)+1$ ดังนั้น $n^{3}$ ก็เป็นจำนวนเต็มคี่ด้วยเช่นกัน

ข้อ 2

ให้ x เป็นจำนวนจริงใดๆ เราจะแสดงว่ามีจำนวนเต็ม y ที่ทำให้ $x+y=xy$ ก็ต่อเมื่อ $x\neq 1$

$(\rightarrow )$ สมมติว่า $x=1$ เราได้ว่า $1+y=y$ เกิดข้อขัดแย้งไม่มี y จะมีค่าเท่าใดก็ตาม ฉะนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าถ้ามีจำนวนเต็ม y ที่ทำให้ $x+y=xy$ แล้ว $x\neq 1$

$(\leftarrow )$ สมมติว่า $x\neq 1$ ให้ $y={\frac {x}{x-1}}$ เราได้ว่า

$x+y\,$	$=\,$	$x+{\frac {x}{x-1}}\,$
	$=\,$	${\frac {(x^{2}-x)+x}{x-1}}\,$
	$=\,$	${\frac {x^{2}}{x-1}}\,$
	$=\,$	$x{\frac {x}{x-1}}\,$
	$=\,$	$xy\,$

ข้อ 3

$(\rightarrow )$ สมมติให้ $A\subseteq B$ และสมมติให้ $X$ เป็นสมาชิกใดๆ ของ $P(A)$ เราได้ว่า $X\subseteq A$

เนื่องจาก $A\subseteq B$ เราได้ว่า $X\subseteq B$ ด้วย ฉะนั้น $X\in P(B)$

เนื่องจาก $X$ เป็นสมาชิกใดๆ ของ $P(A)$ เราจึงสรุปได้ว่า $P(A)\subseteq P(B)$

$(\leftarrow )$ สมมติให้ $A\not \subseteq B$ แสดงว่ามีสมาชิก $x\,$ อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ $x\in A$ แต่ $x\not \in B$

เราได้ว่า $\{x\}\subseteq A$ ดังนั้น $\{x\}\in P(A)$ แต่ $\{x\}\not \subseteq B$ ดังนั้น $\{x\}\not \in P(B)$

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่า $P(A)\not \subseteq P(B)$

ข้อ 4

เราจะใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฏีบท ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะและถ้า p หาร mn ลงตัวเมื่อ m และ n เป็นจำนวนเต็มแล้ว p หาร m หรือ p หาร n ลงตัว

$(\rightarrow )$ สมมติว่า 15 หาร n ลงตัว ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $n=15k$ เราได้ว่า $n=3(5k)=5(3k)$ ดังนั้น 3 หาร n ลงตัวและ 5 หาร n ตัว

$(\leftarrow )$ สมมติให้ 3 หาร n ลงตัวและ 5 หาร n ลงตัว ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $n=3k$

เนื่องจาก 5 หาร n ลงตัว 5 ต้องหาร 3k ลงตัวด้วย

ใช้ทฤษฎีบทข้างบน เราได้ว่า 5 ต้องหาร 3 ลงตัว หรือไม่ 5 ต้องหาร k ลงตัว แต่เนื่องจาก 5 หาร 3 ไม่ลงตัว เราได้ว่า 5 ต้องหา k ลงตัว ฉะนั้นให้ m เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $k=5m$ กล่าวคือ $n=3k=3(5m)=15m$ ดังนั้น 15 หาร n ลงตัว

ข้อ 5

ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม ให้ c = ab เราจะได้ว่า a หาร c ลงตัว และ b หาร c ลงตัว