เฉลย

ข้อย่อย 1

สูตรคือ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

base case: ให้ $n=1$

${\frac {1}{2^{1}}}={\frac {2^{1}-1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}$ เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือสมมติให้ p(n) คือ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$ เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า p(n+1) คือ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {2^{n+1}-1}{2^{n+1}}}$ เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติไว้คือ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

บวกทั้งสองข้างของสมการด้วย ${\frac {1}{2^{n+1}}}$

จะได้ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

$={\frac {2}{2}}.{\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

$={\frac {2^{n+1}-2}{2^{n+1}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

$={\frac {2^{n+1}-1}{2^{n+1}}}$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$