418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II/เฉลยข้อ 6

ข้อย่อย 1

ก่อนอื่นเราจะนิยามฟังก์ชัน min และ max สำหรับค่าสองค่าก่อน ดังนี้

$\mathrm {min2} (a,b)={\begin{cases}a,&a\leq b\\b,&a>b\end{cases}}$

และ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 560089541
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 28 Mar 2026 08:57:12 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$\mathrm {max2} (a,b)={\begin{cases}a,&a>b\\b,&a\leq b\end{cases}}$

จากนั้นเราจึงนิยามฟังก์ชัน min และ max สำหรับค่า n ค่าใดๆ ดังต่อไปนี้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 559201456
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 28 Mar 2026 08:57:12 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$\min(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})={\begin{cases}a_{1},&n=1\\\mathrm {min2} (\min(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}),&n>1\end{cases}}$

และ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 591826686
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 28 Mar 2026 08:57:13 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$\max(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})={\begin{cases}a_{1},&n=1\\\mathrm {max2} (\max(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}),&n>1\end{cases}}$

ข้อย่อย 2

ก่อนเราจะพิสูจน์ข้อความในโจทยฺ์ เราจะพิสูจน์ lemma ต่อไปนี้ก่อน

lemma 1: ให้ $a\,$ และ $b\,$ เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว $\mathrm {max2} (-a,-b)=-\mathrm {min2} (a,b)\,$

พิสูจน์ (lemma 1): การพิสูจน์แบ่งออกเป็นสองกรณี

1. เราได้ว่า ดังนั้น
   

   Error

   Too many requests (f061ab2)

   If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

   Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 532535863
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 28 Mar 2026 08:57:14 GMT


   Sensitive client information

   IP address: 158.108.32.49

   $\mathrm {max2} (-a,-b)=-b=-\mathrm {min2} (a,b)\,$
2. 

   Error

   Too many requests (f061ab2)

   If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

   Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 541644034
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 28 Mar 2026 08:57:14 GMT


   Sensitive client information

   IP address: 158.108.32.49

   $a\leq b\,$ เราได้ว่า
   

   Error

   Too many requests (f061ab2)

   If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

   Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 611320343
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 28 Mar 2026 08:57:14 GMT


   Sensitive client information

   IP address: 158.108.32.49

   $-a\geq -b\,$ ดังนั้น
   

   Error

   Too many requests (f061ab2)

   If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

   Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 572766175
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 28 Mar 2026 08:57:14 GMT


   Sensitive client information

   IP address: 158.108.32.49

   $\mathrm {max2} (-a,-b)=-a=-\mathrm {min2} (a,b)\,$

พิสูจน์ (โจทย์): เราจะทำการพิสูจน์โดยใช้ induction บนตัวแปร

(Base Case) $n=1\,$ เราจะได้ว่า

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกและสมมติให้

ให้ เป็นจำนวนจริงใดๆ เราได้ว่า

	$=\,$	$\mathrm {max2} (\max(-a_{1},-a_{2},\ldots ,-a_{n}),-a_{n+1})\,$
	$=\,$
			(ใช้ lemma 1)

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่า สำหรับจำนวนจริง $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ ใดๆ

ข้อย่อย 3

ก่อนเราจะพิสูจน์ข้อความในโจทยฺ์ เราจะพิสูจน์ lemma ต่อไปนี้ก่อน

lemma 2: ให้ และ $b_{1},b_{2}\,$ เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว

พิสูจน์ (lemma 2): ให้ $A=\mathrm {max2} (a_{1},a_{2})\,$ และให้ เราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 574238371
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 28 Mar 2026 08:57:15 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$a_{1}\leq A,a_{2}\leq A,b_{1}\leq B,$ และ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 591369927
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 28 Mar 2026 08:57:16 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$b_{2}\leq B\,$ ฉะนั้น และ

เนื่องจาก

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 580951443
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 28 Mar 2026 08:57:16 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$\mathrm {max2} (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})\,$ มีค่าเท่ากับ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 523327969
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 28 Mar 2026 08:57:16 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$a_{1}+b_{1}\,$ หรือไม่ก็ $a_{2}+b_{2}\,$ เราจึงได้ว่า

พิสูจน์ (โจทย์): เราจะทำการพิสูจน์โดยใช้ induction บนตัวแปร

(Base Case) $n=1\,$ เราจะได้ว่า

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกและสมมติให้

ให้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 587143271
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 28 Mar 2026 08:57:17 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n+1},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n+1}$ เป็นจำนวนจริงใดๆ เราได้ว่า

$\max(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n+1}+b_{n+1})\,$	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 610337337 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 28 Mar 2026 08:57:18 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $\mathrm {max2} (\max(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n}),a_{n+1}+b_{n+1})\,$
	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 595331833 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 28 Mar 2026 08:57:18 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $\leq \,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 593957163 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 28 Mar 2026 08:57:18 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $\mathrm {max2} (\max(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})+\max(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}),a_{n+1}+b_{n+1})\,$	(สมมติฐาน)
	$\leq \,$		(ใช้ lemma 2)
	$=\,$	$\max(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n+1})+\max(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n+1})\,$

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่า $\max(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n})\leq \max(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})+\max(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ สำหรับจำนวนจริง $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ ใดๆ

ข้อย่อย 4

ก่อนเราจะพิสูจน์ข้อความในโจทยฺ์ เราจะพิสูจน์ lemma ต่อไปนี้ก่อน

lemma 3: ให้ $a_{1},a_{2}\,$ และ $b_{1},b_{2}\,$ เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว $\mathrm {min2} (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})\geq \mathrm {min2} (a_{1},a_{2})+\mathrm {min2} (b_{1},b_{2})\,$

พิสูจน์ (lemma 3): ให้ $\alpha =\mathrm {min2} (a_{1},a_{2})\,$ และให้ เราได้ว่า $a_{1}\geq \alpha ,a_{2}\geq \alpha ,b_{1}\geq \beta ,$ และ $b_{2}\geq \beta \,$ ฉะนั้น $a_{1}+b_{1}\geq \alpha +\beta \,$ และ $a_{2}+b_{2}\geq \alpha +\beta \,$

เนื่องจาก มีค่าเท่ากับ หรือไม่ก็ $a_{2}+b_{2}\,$ เราจึงได้ว่า

พิสูจน์ (โจทย์): เราจะทำการพิสูจน์โดยใช้ induction บนตัวแปร $n\,$

(Base Case) เราจะได้ว่า

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกและสมมติให้

ให้ เป็นจำนวนจริงใดๆ เราได้ว่า

$\min(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n+1}+b_{n+1})\,$	$=\,$	$\mathrm {min2} (\min(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n}),a_{n+1}+b_{n+1})\,$
	$\geq \,$		(สมมติฐาน)
			(ใช้ lemma 3)

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่า สำหรับจำนวนจริง $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ ใดๆ