ผลต่างระหว่างรุ่นของ "418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II"
ไปยังการนำทาง
ไปยังการค้นหา
Cardcaptor (คุย | มีส่วนร่วม) (สร้างหน้าใหม่: == ข้อ 1 == จงใช้การอุปนัยทางคณิตศาสตร์แก้ปัญหาต่อไปนี้ # จง...) |
Cardcaptor (คุย | มีส่วนร่วม) (→ข้อ 2) |
||
| (ไม่แสดง 29 รุ่นระหว่างกลางโดยผู้ใช้ 4 คน) | |||
| แถว 7: | แถว 7: | ||
# จงแสดงว่า <math>1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{n^2} < 2 - \frac{1}{n}</math> เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1 | # จงแสดงว่า <math>1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{n^2} < 2 - \frac{1}{n}</math> เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1 | ||
# จงแสดงว่า 6 หาร <math>n^3 - n</math> ลงตัวเมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ | # จงแสดงว่า 6 หาร <math>n^3 - n</math> ลงตัวเมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ | ||
| − | # ให้ <math>A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n</math> และ <math>B_1, B_2, B_n, \ldots, B_n</math> โดยที่ <math>A_i \subseteq B_i</math> สำหรับ <math>i = 1, 2, 3, \ldots, n</math> | + | # ให้ <math>A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n</math> และ <math>B_1, B_2, B_n, \ldots, B_n</math> โดยที่ <math>A_i \subseteq B_i</math> สำหรับ <math>i = 1, 2, 3, \ldots, n</math> จงพิสูจน์ว่า <math>\bigcap_{i=1}^n A_i \subseteq \bigcap_{i=1}^n B_n</math> |
| + | # จงแสดงว่า <math>1 \cdot 2^0 + 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + \cdots + n \cdot 2^{n-1} = (n-1)2^n + 1</math> สำหรับจำนวนเต็ม n ที่มีค่าไม่เป็นลบ | ||
| + | # จงแสดงว่า 21 หาร <math>4^{n+1} + 5^{2n-1}</math> ลงตัวเมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก | ||
| + | # จงแสดงว่า <math>1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} > 2(\sqrt{n+1} - 1)</math> | ||
| + | |||
| + | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II/เฉลยข้อ 1|เฉลย]] | ||
| + | |||
| + | == ข้อ 2 == | ||
| + | จงแสดงว่าถ้าเราวาดเส้นตรง n เส้นลงบนระนาบ โดยที่เส้นตรงนี้ไม่ีเส้นตรงสองเส้นใดๆ ขนานกัน และไม่มีเส้นตรงสามเส้นใดๆ ตัดกันที่จุดจุดเดียวกันแล้ว เส้นตรงทั้ง n แล้วเหล่านี้จะแบ่งระนาบออกเป็น <math>\frac{n^2 + n + 2}{2}</math> ส่วน | ||
| + | |||
| + | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II/เฉลยข้อ 2|เฉลย]] | ||
| + | |||
| + | == ข้อ 3 == | ||
| + | ถ้า <math>a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n</math> เป็นจำนวนจริงบวก จงแสดงว่า '''ค่าเฉลี่ยเลขคณิต''' <math>\frac{a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n}{n}</math> มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ '''ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต''' <math>\sqrt[n]{a_1a_2a_3\ldots a_n}</math> เสมอ | ||
| + | |||
| + | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II/เฉลยข้อ 3|เฉลย]] | ||
| + | |||
| + | == ข้อ 4 == | ||
| + | จงเขียนนิยามแบบเวียนบังเกิดของลำดับ <math>\{ a_n \}</math> โดยที่ <math>a_n = 1, 2, 3, \ldots</math> เมื่อ | ||
| + | # <math>a_n = 4n-2</math> | ||
| + | # <math>a_n = n(n+1)</math> | ||
| + | # <math>a_n = 1 + (-1)^n</math> | ||
| + | # <math>a_n = n^2</math> | ||
| + | |||
| + | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II/เฉลยข้อ 4|เฉลย]] | ||
| + | |||
| + | == ข้อ 5 == | ||
| + | ให้ <math>f_n</math> เป็นจำนวนฟิโบนักชีตัวที่ n | ||
| + | # จงแสดงว่า <math>f_1^2 + f_2^2 + f_3^2 + \dotsb + f_n^2 = f_nf_{n+1}</math> เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก | ||
| + | # จงแสดงว่า <math>f_1 + f_3 + \cdots + f_{2n-1} = f_{2n}</math> เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก | ||
| + | # จงแสดงว่า <math>f_{n+1}f_{n-1} - f_n^2 = (-1)^n</math> เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก | ||
| + | |||
| + | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II/เฉลยข้อ 5|เฉลย]] | ||
| + | |||
| + | == ข้อ 6 == | ||
| + | # จงให้นิยามแบบเวียนบังเกิดของฟังก์ชัน <math>\max(a_1, a_2, \ldots, a_n)</math> และ <math>\min(a_1, a_2, \ldots, a_n)</math> ซึ่งมีค่าเท่ากับค่าที่มากที่สุดและค่าที่น้อยที่สุดของจำนวนจริง <math>a_1, a_2, \ldots, a_n</math> ตามลำดับ | ||
| + | # จงพิสูจน์ว่า <math>\max(-a_1, -a_2, \ldots, -a_n) = -\min(a_1, a_2, \ldots, a_n)</math> | ||
| + | # จงพิูสูจน์ว่า <math>\max(a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots, a_n+b_n) \leq \max(a_1, a_2, \ldots, a_n) + \max(b_1, b_2, \ldots, b_n)</math> | ||
| + | # จงพิูสูจน์ว่า <math>\min(a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots, a_n+b_n) \geq \min(a_1, a_2, \ldots, a_n) + \min(b_1, b_2, \ldots, b_n)</math> | ||
| + | |||
| + | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II/เฉลยข้อ 6|เฉลย]] | ||
| + | |||
| + | == ข้อ 7 == | ||
| + | จงให้นิยามแบบเวียนบังเกิดของเซตต่อไปนี้ | ||
| + | # เซตของจำนวนเต็มคู่ | ||
| + | # เซตของจำนวนเต็มบวกที่มีค่าเท่ากับ <math>3^k</math> เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ | ||
| + | # เซตของพหุนามในตัวแปร x ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม | ||
| + | # เซตของจำนวนเต็มที่คอนกรูเอนซ์กับ 2 มอดูโล 3 | ||
| + | # เซตของจำนวนเต็มที่ 5 หารไม่ลงตัว | ||
| + | |||
| + | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II/เฉลยข้อ 7|เฉลย]] | ||
| + | |||
| + | == ข้อ 8 == | ||
| + | # จงให้นิยามแบบเวียนบังเกิดของสตริงเขียนกลับ (สตริงเขียนกลับของสตริงหนึ่งๆ คือสตริงที่ได้จากการเขียนสตริงนั้นจากหลังไปหน้า เช่น สตริงเขียนกลับของ abc คือ cba) | ||
| + | # จงให้นิยามแบบเวียนบังเกิดของสตริงที่เป็นพาลินโดรม (สตริงที่เป็นพาลินโดรมคือสตริงที่มีค่าเท่ากับสตริงเขียนกลับของตัวมันเอง เช่น abcba หรือ abba เป็นต้น) | ||
| + | # ให้ <math>x^R</math> แทนสตริงเขียนกลับของ <math>x</math> จงแสดงว่าสำหรับสตริง x และ y ใดๆ เราได้ว่า <math>(xy)^R = y^Rx^R</math> | ||
| + | |||
| + | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II/เฉลยข้อ 8|เฉลย]] | ||
| + | |||
| + | == ข้อ 9 == | ||
| + | ให้ <math>T_0 = 2, T_1 = 3, T_2 = 6 \,</math> และสำหรับค่า <math>n \geq 3</math> ทุกค่า | ||
| + | : <math>T_n = (n+4)T_{n-1} - 4nT_{n-2} + (4n-8)T_{n-3} \,</math> | ||
| + | ค่าของลำัดับนี้เทอมแรกๆ จำนวนหนึ่งได้แก่ 2, 3, 6, 14, 40, 152, 784, 5168, 40576, และ 363392 | ||
| + | จงหาสูตรของ <math>T_n \,</math> ในรูป <math>T_n = A_n+B_n \,</math> เมื่อ <math>\{ A_n \}\,</math> และ <math>\{ B_n \}\,</math> เป็นลำดับที่เราๆ รู้จักกันดี | ||
| + | |||
| + | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II/เฉลยข้อ 9|เฉลย]] | ||
รุ่นแก้ไขปัจจุบันเมื่อ 13:55, 11 กรกฎาคม 2552
ข้อ 1
จงใช้การอุปนัยทางคณิตศาสตร์แก้ปัญหาต่อไปนี้
- จงหาสูตรอย่างง่ายของ และพิสูจน์ว่ามันถูกต้อง
- จงหาสูตรอย่างง่ายของ และพิสูจน์ว่ามันถูกต้อง
- จงแสดงว่า เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ
- จงแสดงว่า เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 4
- จงแสดงว่า เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1
- จงแสดงว่า 6 หาร ลงตัวเมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ
- ให้ และ โดยที่ สำหรับ จงพิสูจน์ว่า
- จงแสดงว่า สำหรับจำนวนเต็ม n ที่มีค่าไม่เป็นลบ
- จงแสดงว่า 21 หาร ลงตัวเมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
- จงแสดงว่า
ข้อ 2
จงแสดงว่าถ้าเราวาดเส้นตรง n เส้นลงบนระนาบ โดยที่เส้นตรงนี้ไม่ีเส้นตรงสองเส้นใดๆ ขนานกัน และไม่มีเส้นตรงสามเส้นใดๆ ตัดกันที่จุดจุดเดียวกันแล้ว เส้นตรงทั้ง n แล้วเหล่านี้จะแบ่งระนาบออกเป็น ส่วน
ข้อ 3
ถ้า เป็นจำนวนจริงบวก จงแสดงว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต เสมอ
ข้อ 4
จงเขียนนิยามแบบเวียนบังเกิดของลำดับ โดยที่ เมื่อ
ข้อ 5
ให้ เป็นจำนวนฟิโบนักชีตัวที่ n
- จงแสดงว่า เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
- จงแสดงว่า เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
- จงแสดงว่า เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
ข้อ 6
- จงให้นิยามแบบเวียนบังเกิดของฟังก์ชัน และ ซึ่งมีค่าเท่ากับค่าที่มากที่สุดและค่าที่น้อยที่สุดของจำนวนจริง ตามลำดับ
- จงพิสูจน์ว่า
- จงพิูสูจน์ว่า
- จงพิูสูจน์ว่า
ข้อ 7
จงให้นิยามแบบเวียนบังเกิดของเซตต่อไปนี้
- เซตของจำนวนเต็มคู่
- เซตของจำนวนเต็มบวกที่มีค่าเท่ากับ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ
- เซตของพหุนามในตัวแปร x ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
- เซตของจำนวนเต็มที่คอนกรูเอนซ์กับ 2 มอดูโล 3
- เซตของจำนวนเต็มที่ 5 หารไม่ลงตัว
ข้อ 8
- จงให้นิยามแบบเวียนบังเกิดของสตริงเขียนกลับ (สตริงเขียนกลับของสตริงหนึ่งๆ คือสตริงที่ได้จากการเขียนสตริงนั้นจากหลังไปหน้า เช่น สตริงเขียนกลับของ abc คือ cba)
- จงให้นิยามแบบเวียนบังเกิดของสตริงที่เป็นพาลินโดรม (สตริงที่เป็นพาลินโดรมคือสตริงที่มีค่าเท่ากับสตริงเขียนกลับของตัวมันเอง เช่น abcba หรือ abba เป็นต้น)
- ให้ แทนสตริงเขียนกลับของ จงแสดงว่าสำหรับสตริง x และ y ใดๆ เราได้ว่า
ข้อ 9
ให้ และสำหรับค่า ทุกค่า
ค่าของลำัดับนี้เทอมแรกๆ จำนวนหนึ่งได้แก่ 2, 3, 6, 14, 40, 152, 784, 5168, 40576, และ 363392 จงหาสูตรของ ในรูป เมื่อ และ เป็นลำดับที่เราๆ รู้จักกันดี
