418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการวิเคราะห์เชิงการจัด/เฉลยข้อ 1

ในปัญหาข้อนี้ให้ $A_{n,k}\,$ แทนเซตของจำนวนเต้มจาก 1 ถึง $n\,$ ที่ $k\,$ หารลงตัว เราได้ว่า $A_{n,k}={\bigg \lfloor }{\frac {n}{k}}{\bigg \rfloor }$

ให้ $B_{k}\,$ แทนเซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่ k หารลงตัว เราได้ว่า $B_{k}=A_{9999,k}-A_{999,k}\,$ ฉะนั้น $|B_{k}|=|A_{9999,k}|-|A_{999,k}|={\bigg \lfloor }{\frac {9999}{k}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{k}}{\bigg \rfloor }\,$

ข้อ 1

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่ 9 หารลงตัวคือ $B_{9}\,$ ซึ่งมีสมาชืก ${\bigg \lfloor }{\frac {9999}{9}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{9}}{\bigg \rfloor }=1111-111=1000\,$ ตัว

ข้อ 2

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่เป็นจำนวนคู่คือ $B_{2}\,$ ซึ่งมีสมาชืก ${\bigg \lfloor }{\frac {9999}{2}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{2}}{\bigg \rfloor }=4999-499=4500\,$ ตัว

ข้อ 3

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่ 3 หารลงตัว คือ $B_{3}\,$ ซึ่งมีสมาชิก ${\bigg \lfloor }{\frac {9999}{3}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{3}}{\bigg \rfloor }=3333-333=3000\,$ ตัว

ดังนั้นเซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 999 ที่ 3 หารไม่ลงตัวจึงมีสมาชิกทั้งหมด $(9999-1000+1)-3000=9000-3000=6000\,$ ตัว

ข้อ 4

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่หารด้วย 5 หรือ 7 ลงตัวคือ $B_{5}\cup B_{7}\,$

เรารู้ว่า

$|B_{5}\cup B_{7}|\,$	$=\,$	$|B_{5}|+|B_{7}|-|B_{5}\cap B_{7}|\,$
	$=\,$	$|B_{5}|+|B_{7}|-|B_{35}|\,$
	$=\,$	${\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{5}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{5}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}+{\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{7}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{7}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}-{\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{35}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{35}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}\,$
	$=\,$	$(1999-199)+(1428-142)-(285-28)\,$
	$=\,$	$1800+1286-257\,$
	$=\,$	$2829\,$ ตัว

ข้อ 5

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่ 5 และ 7 หารลงตัวคือ $B_{5}\cap B_{7}=B_{35}\,$ ซึ่งมีสมาชิก ${\bigg \lfloor }{\frac {9999}{35}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{35}}{\bigg \rfloor }=285-28=257\,$ ตัว

ดังนั้นเซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 999 ที่ 5 และ 7 หารไม่ลงตัวจึงมีสมาชิกทั้งหมด $(9999-1000+1)-257=9000-257=8743\,$ ตัว

ข้อ 6

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่หารด้วย 5 หรือ 7 หรือ 11 ลงตัวคือ $B_{5}\cup B_{7}\cup B_{11}\,$

เรารู้ว่า

$|B_{5}\cup B_{7}\cup B_{11}|\,$	$=\,$	$|B_{5}|+|B_{7}|+|B_{11}|-|B_{5}\cap B_{7}|-|B_{5}\cap B_{11}|-|B_{7}\cap B_{11}|+|B_{5}\cap B_{7}\cap B_{11}|\,$
	$=\,$	$|B_{5}|+|B_{7}|+|B_{11}|-|B_{35}|-|B_{55}|-|B_{77}|+|B_{385}|\,$
	$=\,$	${\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{5}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{5}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}+{\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{7}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{7}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}+{\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{11}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{11}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}-{\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{35}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{35}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}-\,$
		${\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{55}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{55}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}-{\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{77}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{77}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}+{\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{385}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{385}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}\,$
	$=\,$	$(1999-199)+(1428-142)+(909-90)-(285-28)-(181-18)-(129-12)+(25-2)\,$
	$=\,$	$1800+1286+819-257-163-117+23\,$
	$=\,$	$3391\,$ ตัว

ข้อ 7

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่ 5 และ 7 หารลงตัว คือ $B_{5}\cup B_{7}\,$ ซึ่งมีสมาชิก $257\,$ ตัว

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่ 11 หารลงตัว คือ $B_{11}\,$ ซึ่งมีสมาชิก ${\bigg \lfloor }{\frac {9999}{11}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{11}}{\bigg \rfloor }=909-90=819\,$ ตัว

และเซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 999 ที่ 11 หารไม่ลงตัวจึงมีสมาชิกทั้งหมด $(9999-1000+1)-819=9000-819=1881\,$ ตัว

ดังนั้นเซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 999 ที่ 5 และ 7 หารลงตัว แต่ 11 หารไม่ลงตัวจึงมีสมาชิกทั้งหมด $257+1881=2138\,$ ตัว