418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการวิเคราะห์เชิงการจัด/เฉลยข้อ 1

ในปัญหาข้อนี้ให้ $A_{n,k}\,$ แทนเซตของจำนวนเต้มจาก 1 ถึง $n\,$ ที่ $k\,$ หารลงตัว เราได้ว่า $A_{n,k}={\bigg \lfloor }{\frac {n}{k}}{\bigg \rfloor }$

ให้ $B_{k}\,$ แทนเซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่ k หารลงตัว เราได้ว่า $B_{k}=A_{9999,k}-A_{999,k}\,$ ฉะนั้น $|B_{k}|=|A_{9999,k}|-|A_{999,k}|={\bigg \lfloor }{\frac {9999}{k}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{k}}{\bigg \rfloor }\,$

ข้อ 1

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่ 9 หารลงตัวคือ $B_{9}\,$ ซึ่งมีสมาชืก ${\bigg \lfloor }{\frac {9999}{9}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{9}}{\bigg \rfloor }=1111-111=1000\,$ ตัว

ข้อ 2

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่เป็นจำนวนคู่คือ $B_{2}\,$ ซึ่งมีสมาชืก ${\bigg \lfloor }{\frac {9999}{2}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{2}}{\bigg \rfloor }=4999-499=4500\,$ ตัว

ข้อ 3

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่ 3 หารลงตัว คือ $B_{3}\,$ ซึ่งมีสมาชิก ${\bigg \lfloor }{\frac {9999}{3}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{3}}{\bigg \rfloor }=3333-333=3000\,$ ตัว

ดังนั้นเซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 999 ที่ 3 หารไม่ลงตัวจึงมีสมาชิกทั้งหมด $(9999-1000+1)-3000=9000-3000=6000\,$ ตัว

ข้อ 4

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่หารด้วย 5 หรือ 7 ลงตัวคือ $B_{5}\cup B_{7}\,$

เรารู้ว่า

$|B_{5}\cup B_{7}|\,$	$=\,$	$|B_{5}|+|B_{7}|-|B_{5}\cap B_{7}|\,$
	$=\,$	$|B_{5}|+|B_{7}|-|B_{35}|\,$
	$=\,$	${\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{5}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{5}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}+{\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{7}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{7}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}-{\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{35}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{35}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}\,$
	$=\,$	$(1999-199)+(1428-142)-(285-28)\,$
	$=\,$	$1800+1286-257\,$
	$=\,$	$2829\,$ ตัว

ข้อ 5

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่ 5 และ 7 หารลงตัวคือ $B_{5}\cap B_{7}=B_{35}\,$ ซึ่งมีสมาชิก ${\bigg \lfloor }{\frac {9999}{35}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{35}}{\bigg \rfloor }=285-28=257\,$ ตัว

ดังนั้นเซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 999 ที่ 5 และ 7 หารไม่ลงตัวจึงมีสมาชิกทั้งหมด $(9999-1000+1)-257=9000-257=8743\,$ ตัว

ข้อ 6

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่หารด้วย 5 หรือ 7 หรือ 11 ลงตัวคือ $B_{5}\cup B_{7}\cup B_{11}\,$

เรารู้ว่า

$|B_{5}\cup B_{7}\cup B_{11}|\,$	$=\,$	$|B_{5}|+|B_{7}|+|B_{11}|-|B_{5}\cap B_{7}|-|B_{5}\cap B_{11}|-|B_{7}\cap B_{11}|+|B_{5}\cap B_{7}\cap B_{11}|\,$
	$=\,$	$|B_{5}|+|B_{7}|+|B_{11}|-|B_{35}|-|B_{55}|-|B_{77}|+|B_{385}|\,$
	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 563450242 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 25 Feb 2026 13:27:10 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 ${\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{5}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{5}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}+{\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{7}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{7}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}+{\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{11}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{11}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}-{\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{35}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{35}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}-\,$
		${\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{55}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{55}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}-{\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{77}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{77}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}+{\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{385}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{385}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}\,$
	$=\,$	$(1999-199)+(1428-142)+(909-90)-(285-28)-(181-18)-(129-12)+(25-2)\,$
	$=\,$	$1800+1286+819-257-163-117+23\,$
	$=\,$	$3391\,$ ตัว

ข้อ 7

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่ 5 และ 7 หารลงตัว คือ $B_{5}\cup B_{7}\,$ ซึ่งมีสมาชิก $257\,$ ตัว

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่ 11 หารลงตัว คือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 541505258
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 25 Feb 2026 13:27:12 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$B_{11}\,$ ซึ่งมีสมาชิก ${\bigg \lfloor }{\frac {9999}{11}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{11}}{\bigg \rfloor }=909-90=819\,$ ตัว

และเซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 999 ที่ 11 หารไม่ลงตัวจึงมีสมาชิกทั้งหมด

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 527218681
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 25 Feb 2026 13:27:13 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$(9999-1000+1)-819=9000-819=1881\,$ ตัว

ดังนั้นเซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 999 ที่ 5 และ 7 หารลงตัว แต่ 11 หารไม่ลงตัวจึงมีสมาชิกทั้งหมด

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 563974497
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 25 Feb 2026 13:27:13 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$257+1881=2138\,$ ตัว