418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 3

ข้อ 1

เราได้ว่า

$\Pr(X=Y)\,$	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }\Pr(X=k\wedge Y=k)\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }\Pr(X=k)\Pr(Y=k)\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }(1-p)^{1-k}p(1-q)^{1-k}q\,$
	$=\,$	$pq\sum _{k=0}^{\infty }[(1-p)(1-q)]^{k}\,$
	$=\,$	${\frac {pq}{1-(1-p)(1-q)}}\,$