418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 3

ข้อ 1

เราได้ว่า

$\Pr(X=Y)\,$	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }\Pr(X=k\wedge Y=k)\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }\Pr(X=k)\Pr(Y=k)\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }(1-p)^{1-k}p(1-q)^{1-k}q\,$
	$=\,$	$pq\sum _{k=0}^{\infty }[(1-p)(1-q)]^{k}\,$
	$=\,$	${\frac {pq}{1-(1-p)(1-q)}}\,$

ข้อ 2

เนื่องจาก $\max(X,Y)\,$ เป็น random variable ที่มีค่าไม่เป็นลบ

$E[\max(X,Y)]\,$

$=\,$

$\sum _{k=1}^{\infty }\Pr(\max(X,Y)\geq k)\,$

พิจารณา $\Pr(\max(X,Y)\geq k)\,$ เราได้ว่า

$\Pr(\max(X,Y)\geq k)\,$	$=\,$	$\Pr(X\geq k\vee Y\geq k)\,$
	$=\,$	$\Pr(X\geq k)+\Pr(Y\geq k)-\Pr(X\geq k\wedge Y\geq k)\,$
	$=\,$	$(1-p)^{k-1}+(1-q)^{k-1}-(1-p)^{k-1}(1-q)^{k-1}\,$

ฉะนั้น

$E[\max(X,Y)]\,$	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }{\Big [}(1-p)^{k-1}+(1-q)^{k-1}-(1-p)^{k-1}(1-q)^{k-1}{\Big ]}\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }(1-p)^{k-1}+\sum _{k=1}^{\infty }(1-q)^{k-1}-\sum _{k=1}^{\infty }(1-p)^{k-1}(1-q)^{k-1}\,$
	$=\,$	${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{1-(1-p)(1-q)}}\,$

ข้อ 3

เราได้ว่า

$\Pr(\min(X,Y)=k)\,$	$=\,$	$\Pr(X=k\wedge Y>k)+\Pr(Y=k\wedge X>k)+\Pr(X=k\wedge Y=k)\,$
	$=\,$	$\Pr(X=k)\Pr(Y>k)+\Pr(X>k)\Pr(Y=k)+\Pr(X=k)\Pr(Y=k)\,$
	$=\,$	$(1-p)^{k-1}p(1-q)^{k}+(1-p)^{k}(1-q)^{k-1}q+(1-p)^{k-1}p(1-q)^{k-1}q\,$
	$=\,$	$(1-p)^{k-1}(1-q)^{k-1}{\Big [}p(1-q)+(1-p)q+pq{\Big ]}\,$
	$=\,$	$(1-p)^{k-1}(1-q)^{k-1}(p+q-pq)\,$

ข้อ 4

เราได้ว่า

$E[X\ |\ X\leq Y]\,$	$=\,$	$E[X\ |\ \min(X,Y)=X]\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }\Pr(\min(X,Y)=k)E[X\ |\ \min(X,Y)=X\wedge \min(X,Y)=k]\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }\Pr(\min(X,Y)=k)E[X\ |\ X=k\wedge \min(X,Y)=k]\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }k\Pr(\min(X,Y)=k)\,$
	$=\,$	$E[\min(X,Y)]\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }\Pr(\min(X,Y)\geq k)\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }\Pr(X\geq k\wedge Y\geq k)\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }\Pr(X\geq k)\Pr(Y\geq k)\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }(1-p)^{k-1}(1-q)^{k-1}\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }[(1-p)(1-q)]^{k-1}\,$
	$=\,$	${\frac {1}{1-(1-p)(1-q)}}={\frac {1}{p+q-pq}}\,$