ผลต่างระหว่างรุ่นของ "418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาอัลกอริทึมเกี่ยวกับกราฟ/เฉลยข้อ 4.3"
ไปยังการนำทาง
ไปยังการค้นหา
Cardcaptor (คุย | มีส่วนร่วม) |
Cardcaptor (คุย | มีส่วนร่วม) |
||
| แถว 14: | แถว 14: | ||
ในกรณีที่ 2 เราได้ว่า <math>\mathrm{pre}[u] < \mathrm{pre}[v] < \mathrm{post}[u]\,</math> หมายความว่า DFSALL(v) ถูกเรียกให้ทำงานระหว่าง DFSALL(u) กำลังทำงานอยู่ | ในกรณีที่ 2 เราได้ว่า <math>\mathrm{pre}[u] < \mathrm{pre}[v] < \mathrm{post}[u]\,</math> หมายความว่า DFSALL(v) ถูกเรียกให้ทำงานระหว่าง DFSALL(u) กำลังทำงานอยู่ | ||
| − | ฉะนั้น DFSALL(v) จะต้องทำงานเสร็จก่อน DFSALL(u) | + | ฉะนั้น DFSALL(v) จะต้องทำงานเสร็จก่อน DFSALL(u) จะทำงานเสร็จ ด้วยเหตุนี้เราจะได้ว่า <math>\mathrm{post}[v] < \mathrm{post}[u] \,</math> กล่าวคือ |
| + | <math>\mathrm{pre}[u] < \mathrm{pre}[v] < \mathrm{post}[v] < \mathrm{post}[u] \,</math> ซึ่งตรงกับข้อความหนึ่งในสามข้อในโจทย์ | ||
| + | |||
| + | เราสามารถพิสูจน์กรณีที่ DFSALL(v) ถูกเรียกให้ทำงานก่อน DFSALL(u) ได้โดยการใช้เหตุผลแบบเดียวกับข้างบน เพียงแต่สลับบทบาทของ <math>u \,</math> กับ <math>v \,</math> เท่านั้น | ||
รุ่นแก้ไขเมื่อ 10:46, 16 กันยายน 2552
ให้ และ เป็น vertex ใดๆ ในกราฟแล้ว เราจะได้ว่ามีความเป็นไปได้สองกรณีด้วยกัน คือ
- DFSALL(u) ถูกเรียกให้ทำงานก่อน DFSALL(v)
- DFSALL(v) ถูกเรียกให้ทำงานก่อน DFSALL(u)
ิพิจารณากรณีที่ DFSALL(u) ถูกเรียกให้ทำงานก่อน DFSALL(v) ในกรณีนี้เราจะได้ว่า และในกรณีนี้มีความเป็นไปได้สองกรณีด้วยกันคือ
![{\displaystyle \mathrm {pre} [u]<\mathrm {pre} [v]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f371b237a0a203af543e3a11d0ba1766d6c91575)
![{\displaystyle \mathrm {post} [u]<\mathrm {pre} [v]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a2667b2739a4eaf62353703ac4dfa20dc27654)
![{\displaystyle \mathrm {post} [u]>\mathrm {pre} [v]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35751cc7afa669235fe266debfc5010c73889539)
ในกรณีที่ 1 เราได้ว่า ซึ่งหมายความว่าช่วง และช่วง ไม่ซ้อนทับกันเลย ซึ่งตรงกับข้อความหนึ่งในสามข้อในโจทย์
![{\displaystyle \mathrm {pre} [u]<\mathrm {post} [u]<\mathrm {pre} [v]<\mathrm {post} [v]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9219bde613438b33fbbca1ceece1724033f7c7dc)
![{\displaystyle [\mathrm {pre} [u],\mathrm {post} [u]]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8f747d4396f9e0518a50c30615449916d38bd29)
![{\displaystyle [\mathrm {pre} [v],\mathrm {post} [v]]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fed6804f99f57a3e4c2241136a53c3bb2e191f7e)
ในกรณีที่ 2 เราได้ว่า หมายความว่า DFSALL(v) ถูกเรียกให้ทำงานระหว่าง DFSALL(u) กำลังทำงานอยู่ ฉะนั้น DFSALL(v) จะต้องทำงานเสร็จก่อน DFSALL(u) จะทำงานเสร็จ ด้วยเหตุนี้เราจะได้ว่า กล่าวคือ ซึ่งตรงกับข้อความหนึ่งในสามข้อในโจทย์
![{\displaystyle \mathrm {pre} [u]<\mathrm {pre} [v]<\mathrm {post} [u]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55eb1e5cc8ca6e1fac734c3a45ed61f185a4d156)
![{\displaystyle \mathrm {post} [v]<\mathrm {post} [u]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd9a1b343df416653958335cfb711a4cb7e3707)
![{\displaystyle \mathrm {pre} [u]<\mathrm {pre} [v]<\mathrm {post} [v]<\mathrm {post} [u]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ff206bf4f368bf78732711c0de3d6e9fea6020)
เราสามารถพิสูจน์กรณีที่ DFSALL(v) ถูกเรียกให้ทำงานก่อน DFSALL(u) ได้โดยการใช้เหตุผลแบบเดียวกับข้างบน เพียงแต่สลับบทบาทของ กับ เท่านั้น
