เฉลย

ข้อย่อย 1

สูตรคือ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

base case: ให้ $n=1$

${\frac {1}{2^{1}}}={\frac {2^{1}-1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}$ เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือสมมติให้ p(n) คือ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$ เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า p(n+1) คือ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {2^{n+1}-1}{2^{n+1}}}$ เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติไว้คือ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

บวกทั้งสองข้างของสมการด้วย ${\frac {1}{2^{n+1}}}$

จะได้ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

$={\frac {2}{2}}.{\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

$={\frac {2^{n+1}-2}{2^{n+1}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

$={\frac {2^{n+1}-1}{2^{n+1}}}$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

ข้อย่อย 2

สูตรคือ ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$

base case: ให้ $n=1$

${\frac {1}{1(1+1)}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}$ เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือสมมติให้ p(n)คือ ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$ เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}={\frac {n+1}{n+2}}$ เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติไว้คือ ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$

บวก ${\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$ ทั้งสองข้างของสมการ

จะได้ ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}={\frac {n}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$

$={\frac {n}{(n+1)}}.{\frac {(n+2)}{(n+2)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$

$={\frac {(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)}}$

$={\frac {(n+1)}{(n+2)}}$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$ เป็นจริง

ข้อย่อย 3

(Base Case) เนื่องจาก $n=0\,$ เราได้ว่า $1=(2\cdot 0+1)^{2}=(0+1)(2\cdot 0+1)(2\cdot 0+3)/3\,$

(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

$1^{2}+3^{2}+\dotsb +(2(n+1)+1)^{2}\,$	$=\,$	$(1^{2}+3^{2}+\dotsb +(2n+1)^{2})+(2n+3)^{2}\,$
	$=\,$	${\frac {(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}}+(2n+3)^{2}\,$
	$=\,$	$(2n+3){\bigg [}{\frac {(n+1)(2n+1)}{3}}+(2n+3){\bigg ]}\,$
	$=\,$	$(2n+3){\bigg [}{\frac {2n^{2}+3n+1+3(2n+3)}{3}}{\bigg ]}\,$
	$=\,$	$(2n+3){\bigg [}{\frac {2n^{2}+9n+10}{3}}{\bigg ]}\,$
	$=\,$	$(2n+3){\frac {(n+2)(2n+5)}{3}}\,$
	$=\,$	${\frac {((n+1)+1)((2(n+1)+1)(2(n+1)+3)}{3}}\,$

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน

ข้อย่อย 4

base case: คือ n=5 แทนค่าจะได้

$2^{5}>5^{2}$ เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือ สมมติให้ p(n) คือ $2^{n}>n^{2}$ เป็นจริง ต้องการแสดงว่า $2^{n+1}>(n+1)^{2}$ เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติ $2^{n}>n^{2}$

คูณ 2 ทั้งสองข้างของสมการจะได้

$2.2^{n}>2.n^{2}$

$2^{n+1}>n^{2}+n^{2}$

$\geq n^{2}+5n$ เนื่องจาก n>4

$\geq n^{2}+2n+1$

$=(n+1)^{2}$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า $2^{n}>n^{2}$ เป็นจริง เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 4

ข้อย่อย 5

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 2 และเราได้ว่า $1+1/4=5/4<3/2=2-1/2\,$

(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 2 และให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

$1+{\frac {1}{4}}+\dotsb +{\frac {1}{n+1}}^{2}\,$	$=\,$	$(1+{\frac {1}{4}}+\dotsb +{\frac {1}{n^{2}}})+{\frac {1}{(n+1)^{n}}}\,$
	$<\,$	$2-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\,$
		$2-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n(n+1)}}\,$
		$2-{\frac {1}{n}}{\Bigg [}1-{\frac {1}{n+1}}{\Bigg ]}\,$
	$=\,$
		$2-{\frac {1}{n+1}}\,$

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง $n>1$ ทุกจำนวน

ข้อย่อย 6

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 0 และเราได้ว่า ซึ่งหารด้วย 6 ได้ลงตัว

(Induction Case) สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และสมมติให้ หารด้วย 6 ลงตัว

พิจารณาค่า

เราได้ว่า 6 หาร $3n(n+1)$ ลงตัวเนื่องจาก 3 หาร $3n(n+1)$ ลงตัว นอกจากนี้ 2 ยังหาร $3n(n+1)$ ลงตัวเนื่องจากในค่า $n$ และ $n+1$ ลงตัว จะต้องมีสักตัวที่เป็นจำนวนคู่

เนื่องจาก 6 หารทั้ง $n^{3}-n$ และ $3n(n+1)$ ลงตัว เราจึงได้ว่า 6 หาร $(n^{3}-n)+3n(n+1)=(n+1)^{3}-(n+1)$ ลงตัวด้วย

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า 6 หาร $n^{3}-n$ ลงตัวสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน

ข้อย่อย 7

ก่อนเราจะทำการพิสูจน์ข้อความในโจทย์ เราจะทำการพิสูจน์ lemma ต่อไปนี้

lemma: ให้ $A\,$, $B\,$, $C\,$ และ $D\,$ เป็นเซตใดๆ ที่ $A\subseteq C\,$ และ $B\subseteq D\,$ แล้ว $A\cap B\subseteq C\cap D$

พิสูจน์ (lemma): ให้ x เป็นค่าใดๆ สมมติให้ $x\in A\cap B$ เราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 42654800
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 20 Apr 2026 10:04:47 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$x\in A$ และ

เนื่องจาก $A\subseteq C$ และ เราได้ว่า $x\in C$ และ ด้วย ดังนั้น $x\in C\cap D$

เนื่องจาก x เป็นค่าใดๆ เราจึงสามารถสรุปได้ว่า ฉะนั้น $A\cap B\subseteq C\cap D$

พิสูจน์ (โจทย์)

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 ในกรณีนี้เราได้ว่า $\bigcap _{i=1}^{1}A_{i}=A\subseteq B=\bigcap _{i=1}^{1}B_{i}\,$

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้ข้อความที่โจทย์ต้องการพิสูจน์เป็นจริง

เราได้ว่า $\bigcap _{i=1}^{n+1}A_{i}=A_{n+1}\cap \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$ และ

โจทย์กำหนดว่า $A_{n+1}\subseteq B_{n+1}$ และจาำกสมมติฐานเราได้ว่า $\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A\bigcap _{i=1}^{n}B_{i}\,$ ฉะนั้นด้วย lemma เราได้ว่า

ฉะนั้นเราจึงสรุปได้ว่าข้อความในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกค่า

ข้อย่อย 8

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราจะได้ว่า $1\cdot 2^{1-1}=1=(1-1)2^{1}+1$

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง ได้ว่า

$1\cdot 2^{0}+2\cdot 2^{1}+\dotsb +(n+1)\cdot 2^{n}\,$	$=\,$	$(1\cdot 2^{0}+2\cdot 2^{1}+\dotsb +n\cdot 2^{n-1})+(n+1)\cdot 2^{n}\,$
	$=\,$	$(n-1)2^{n}+1+(n+1)\cdot 2^{n}\,$
	$=\,$	$(2n)\cdot 2^{n}+1\,$
	$=\,$	$n\cdot 2^{n+1}+1\,$

ดังนั้นเราสรุปได้ว่าสมการเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

ข้อ 9

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราได้ว่า $4^{1+1}+5^{2\cdot 1-1}=16+5=21$ ซึ่งหารด้วย 21 ลงตัว

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้ $4^{n+1}+5^{2n-1}$ หารด้วย 21 ลงตัว

เราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 66790765
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 20 Apr 2026 10:04:18 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$4^{n+2}+5^{2n+1}=4\cdot 4^{n+1}+25\cdot 5^{2n-1}=(25-21)4^{n+1}+25\cdot 5^{2n-1}=25(4^{n+1}+5^{2n-1})+21\cdot 4^{n+1}$

จากสมมติฐาน เราได้ว่า 21 หาร $4^{n+1}+5^{2n-1}$ ลงตัว ดังนั้นมันจึงหาร

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 43798164
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 20 Apr 2026 10:05:01 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$25(4^{n+1}+5^{2n-1})$ ลงตัว และเนื่องจาก 21 หาร $21\cdot 4^{n+1}$ ลงตัว เราจึงได้ว่า 21 หาร

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่า 21 หาร $4^{n+1}+5^{2n-1}$ ลงตัวสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

ข้อ 10

lemma: สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ

พิสูจน์ (lemma): เราได้ว่า

Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 40490886 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 20 Apr 2026 10:04:19 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 ${\sqrt {n+2}}+{\sqrt {n+1}}$	$>\,$	$2{\sqrt {n+1}}$
Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 30825393 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 20 Apr 2026 10:04:20 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $({\sqrt {n+2}}+{\sqrt {n+1}}){\frac {{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n+1}}}{{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n+1}}}}$	$>\,$
Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 47010111 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 20 Apr 2026 10:04:21 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 ${\frac {1}{{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n+1}}}}$		$2{\sqrt {n+1}}$
${\frac {1}{\sqrt {n+1}}}$	$>\,$	$2{\sqrt {n+2}}-2{\sqrt {n+1}}$
Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 61418249 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 20 Apr 2026 10:04:22 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2{\sqrt {n+1}}+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}$		$2{\sqrt {n+2}}$

พิสูจน์ (โจทย์)

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 เราได้ว่า

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้อสมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

$1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}+\dotsb +{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}>2({\sqrt {n+1}}-1)+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}=2{\sqrt {n+1}}+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}-2>2{\sqrt {n+2}}-2=2({\sqrt {n+2}}-1)$

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าอสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกตัว