418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการวิเคราะห์เชิงการจัด/เฉลยข้อ 3

ข้อย่อย 1

พิจารณาเซต 3 เซตที่สอดคล้องกับตัวอักษรและตัวเลขที่สามารถปรากฏได้ในตำแหน่งต่าง ๆ ของสตริงความยาว 6 ดังนี้ ให้เซต X คือเซตของสระภาษาอังกฤษและY คือเซตของพยัญชนะภาษาอังกฤษและตัวเลข จะได้ว่า $|X|=5,|Y|=31$ ให้ $A_{i}$ เมื่อ $1\leq i\leq 6$ คือสตริงความยาว 6 ที่ประกอบขึ้นจากตัวอักษรภาษาอังกฤษและตัวเลขที่มีสระอยู่ตำแหน่งที่ i ดังนั้นจำนวนของสตริงความยาว 6 ที่ประกอบขึ้นจากตัวอักษรภาษาอังกฤษและตัวเลขที่มีสระ 1 ตัว = $|A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}\cup A_{5}\cup A_{6}|=|A_{1}|+|A_{2}|+|A_{3}|+|A_{4}|+|A_{5}|+|A_{6}|$

พิจารณา $A_{1}=X\times Y^{5}=|X|.|Y|^{5}=5.(31)^{5}$

และ $A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}$ ก็คิดได้เหมือนกันกับกรณีข้างต้น

ดังนั้นจำนวนของสตริงความยาว 6 ที่ประกอบขึ้นจากตัวอักษรภาษาอังกฤษและตัวเลขที่มีสระ 1 ตัว $=(5.(31)^{5})+(5.(31)^{5})+(5.(31)^{5})+(5.(31)^{5})+(5.(31)^{5})+(5.(31)^{5})=6.(5.(31)^{5})$

ข้อย่อย 6

พิจารณาการสร้างสตริงความยาว 6 ที่ประกอบขึ้นจากตัวอักษรและตัวเลขที่ไม่มีตัวอักษรใด ๆ ปรากฏมากกว่า 1 ครั้ง จะได้ว่า ตำแหน่งแรกเลือกตัวอักษรได้ 36 ตัว ตำแหน่งที่สองเลือกได้ 35 ตัวเพราะเลือกตัวอักษรที่ซ้ำกับตำแหน่งแรกไม่ได้แล้ว ตำแหน่งที่สามเลือกตัวอักษรได้ 34 ตัว เพราะเลือกตัวอักษรที่ซ้ำกับตำแหน่งแรกและตำแหน่งที่สองไม่ได้แล้ว คิดแบบนี้ไปเรื่อย ๆ จนครบหกตำแหน่งจะได้ว่า จำนวนสตริงความยาว 6 ที่ประกอบขึ้นจากตัวอักษรและตัวเลขที่ไม่มีตัวอักษรใด ๆ ปรากฏมากกว่า 1 ครั้ง = $36\times 35\times 34\times 33\times 32\times 31$