418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการวิเคราะห์เชิงการจัด/เฉลยข้อ 11

ให้เซต $B\,$ เป็นเซตของวิธีกระจายลูกบอลที่ต่างกัน 8 ลูก ลงในไห 3 ใบ โดยที่ไม่มีเงื่อนไขอะไรเลย จะได้ว่า $|B|=3^{8}$ เนื่องจากลูกบอลแต่ละลูกสามารถเลือกไหที่ตัวเองจะอยู่ได้ 3 วิธี

ให้เซต $A\,$ เป็นเซตของวิธีกระจายลูกบอลที่ต่างกัน 8 ลูก ลงในไห 3 ใบ โดยที่แต่ละไหจะต้องมีลูกบอลอย่างน้อย 1 ลูก

ได้ว่า $B-A\,$ คือเซตของวิธีกระจายลูกบอลที่ต่างกัน 8 ลูก ลงในไห 3 ไบ โดยที่มีไหว่างอย่างน้อย 1 ไห

ให้ $C_{1},C_{2},C_{3}\,$ เป็นเซตของธีกระจายลูกบอลที่ต่างกัน 8 ลูก ลงในไห 3 ไบ โดยที่ไหหมายเลข 1 ว่าง, ไหหมายเลข 2 ว่าง และไหหมายเลข 3 ว่าง ตา่มลำดับ

ให้ $C_{12},C_{23},C_{31}\,$ เป็นเซตของธีกระจายลูกบอลที่ต่างกัน 8 ลูก ลงในไห 3 ไบ โดยที่ไหหมายเลข 1 และ 2 ว่าง, ไหหมายเลข 2 และ 3 ว่าง และไหหมายเลข 3 และ 1 ว่าง ตา่มลำดับ

เราได้ว่า $B-A=C_{1}\cup C_{2}\cup C_{3}\cup C_{12}\cup C_{23}\cup C_{31}\,$

$B-A\,$	$=\,$	|ไห 1 ว่าง| + |ไห 2 ว่าง| + |ไห 3 ว่าง| + |ไห 1 และ 2 ว่าง| + |ไห 1 และ 3 ว่าง| + |ไห 2 และ 3 ว่าง|
	$=\,$	|บอลอยู่ไห 2 และ 3| + |บอลอยู่ไห 1 และ 3| + |บอลอยู่ไห 1 และ 2| + |บอลอยู่ไห 3 อย่างเดียว| + |บอลอยู่ไห 2 อย่างเดียว| + |บอลอยู่ไห 1 อย่างเดียว|
	$=\,$	$3(2^{8}-2)+3\,$

ดังนั้น $A=3^{8}-3(2^{8}-2)+3$ นั่นเอง