204512-53/lecture11

จดบันทึกคำบรรยายโดย:

 นายชัชพล  นุโยค        รหัส 5214550049
 นายสุรเดช  วัฒนอุดมโรจน์  รหัส 5214550324

---

NP Completeness

---

NP: Non-deterministic Polynomial time คือ เซตของ Algorithm ที่ไม่สามารถแก้ไขปัญหาได้ในเวลาที่เป็น polynomial โดยการนิยามเซตของปัญหาเพื่อประโยชน์ในการเปรียบเทียบระดับความยาก-ง่ายของ Algorithm ซึ่งเซตของปัญหาสามารถแบ่งเป็นเซต P, NP, NP-hard และ NP-complete

ในการเปรียบเทียบ Algorithm ใดๆ เราจะทำการพิจารณา Algorithm ว่าจัดอยู่ในเซตของปัญหาใด โดยใช้เทคนิคการลดรูปของปัญหา (Reduction) ว่าเป็นกลุ่มเดียวกับปัญหาที่อยู่ในเซตหรือไม่ ถ้าอยู่ในกลุ่มเดียวกันจะกล่าวว่า Algorithm มีความยากเท่ากัน ความยาก คือ มี Algorithm ที่มีประสิทธิภาพแก้ไขปัญหาหรือไม่

ปัญหา A สัมพันธ์ ปัญหา B

ปัญหา A ไม่ยากไปกว่า ปัญหา B

ปัญหา A ปัญหา B

โดยมีความหมายว่า ถ้ามี Algorithm ที่สามารถแก้ปัญหา B ได้ ปัญหา A ก็จะสามารถแก้ได้เช่นกัน

---

ปัญหาที่ 1 : Independent Set เป็นปัญหากลุ่ม Decision Problem

นิยาม : ให้ Undirected graph G = (V, E) จะกล่าวว่า I V เป็น Independent Set ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกๆโหนด U,V I, U V ไม่มีเส้นเชื่อมระหว่าง U และ V

ปัญหา : ให้กราฟ G = (V, E) และ integer k, มี Independent set ขนาด ≥ k หรือไม่

ในภาพทำการเลือกโหนด (k) เท่ากับ 1 จะกล่าวว่ามี Independent set ขนาด 1

สามารถนำไปใช้แก้ปัญหา หาคนที่ไม่รู้จักกันในห้อง หรือ การเปิด-ปิดไฟแดงที่แยก

---

ปัญหาที่ 2 : Vertex Cover

นิยาม : C V เป็น Vertex Cover ก็ต่อเมื่อ (U,V) E,U C หรือ V C

ปัญหา : ให้กราฟ G = (V, E) และ จำนวนเต็ม k ถามว่ามี vertex cover ขนาด ≤ k หรือไม่

---

ถ้าสมมติให้ Independent Set Vertex Cover

Lemma : พิจารณาเซต A V ใดๆ ให้ A เป็น imdenpendent set โดย V-A เป็น Vertec Cover

Proof : Indenpendent set Vertex Cover

นิยาม : ปัญหา A เป็น Polynomial time เพื่อลดปัญหา B ถ้ามี Algorithm T ที่ทำงานใน Polynomial time สำหรับทุกๆ instance X ของ A จะได้ T(x) เป็น instance ของ B

X' = T(x) เป็น instance ของ B และ |X'| = Poly (|X|)

   ถ้า x เป็น instance ตอบ "Yes" ใน A
   => x' เป็น instance ตอบ "Yes" ใน B

   ถ้า x เป็น instance ตอบ "No" ใน A
   => x' เป็น instance ตอบ "No" ใน B

Lemma : ถ้า A B และมี Algorithm ที่แก้ปัญหา B ได้ใน Polynomial time จะมี Algorithm ที่แก้ปัญหา A ใน Polynomial time ได้ด้วย

Proof : ให้ M เป็น Polynomial time Algorithm ที่แก้ปัญหา B จะได้ว่า A B นั้นคือ มี Polynomial time Algorithm T ที่ instance x ของ A x' = T(x) มีขนาด poly(|x|) และคำตอบของ x ในปัญหา A ตรงกับของ x' ในปัญหา B

สำหรับ Algorithm M' ดังนี้

  M'(x) :
  x' = T(x)
  return M(x')

แต่เนื่องจาก |x'| = poly(|x|) ดังนั้น เวลาในการคำนวณ M(x')คือ poly(|x'|) = poly(poly(|x|)) = poly(|x|)

จากนิยาม M'(x) เป็นคำตอบของ x ใน A เหลือแต่ต้องตรวจสอบว่า M' ทำงานใน Polynomial time หรือ poly(|x|)

---