418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ I/เฉลยข้อ 6

ข้อ 1

$(\rightarrow )$ สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มคู่ ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $n=2k$ เราจะได้ว่า $n^{3}=(2k)^{3}=8k^{3}=2(4k^{3})$ ดังนั้น $n^{3}$ ก็เป็นจำนวนเต็มคู่ด้วยเช่นกัน

$(\leftarrow )$ สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มคี่ ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $n=2k+1$ เราจะได้ว่า $n^{3}=(2k+1)^{3}=8k^{3}+12k^{2}+6k+1=2(4k^{3}+6k^{2}+3k)+1$ ดังนั้น $n^{3}$ ก็เป็นจำนวนเต็มคี่ด้วยเช่นกัน

ข้อ 2

ให้ x เป็นจำนวนจริงใดๆ เราจะแสดงว่ามีจำนวนเต็ม y ที่ทำให้ $x+y=xy$ ก็ต่อเมื่อ $x\neq 1$

$(\rightarrow )$ สมมติว่า $x=1$ เราได้ว่า $1+y=y$ เกิดข้อขัดแย้งไม่มี y จะมีค่าเท่าใดก็ตาม ฉะนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าถ้ามีจำนวนเต็ม y ที่ทำให้ $x+y=xy$ แล้ว $x\neq 1$

$(\leftarrow )$ สมมติว่า $x\neq 1$ ให้ $y={\frac {x}{x-1}}$ เราได้ว่า

$x+y\,$	$=\,$	$x+{\frac {x}{x-1}}\,$
	$=\,$	${\frac {(x^{2}-x)+x}{x-1}}\,$
	$=\,$	${\frac {x^{2}}{x-1}}\,$
	$=\,$	$x{\frac {x}{x-1}}\,$
	$=\,$	$xy\,$