418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการวิเคราะห์เชิงการจัด/เฉลยข้อ 3

ข้อย่อย 1

พิจารณาเซต 3 เซตที่สอดคล้องกับตัวอักษรและตัวเลขที่สามารถปรากฏได้ในตำแหน่งต่าง ๆ ของสตริงความยาว 6 ดังนี้ ให้เซต X คือเซตของสระภาษาอังกฤษและY คือเซตของพยัญชนะภาษาอังกฤษ จะได้ว่า $|X|=5,|Y|=21$ ให้ $A_{i}$ เมื่อ $1\leq i\leq 6$ คือสตริงความยาว 6 ที่ประกอบขึ้นจากตัวอักษรภาษาอังกฤษและตัวเลขที่มีสระอยู่ตำแหน่งที่ i ดังนั้นจำนวนของสตริงความยาว 6 ที่ประกอบขึ้นจากตัวอักษรภาษาอังกฤษที่มีสระ 1 ตัว = $|A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}\cup A_{5}\cup A_{6}|=|A_{1}|+|A_{2}|+|A_{3}|+|A_{4}|+|A_{5}|+|A_{6}|$

พิจารณา $A_{1}=X\times Y^{5}=|X|.|Y|^{5}=5.(21)^{5}$

และ $A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}$ ก็คิดได้เหมือนกันกับกรณีข้างต้น

ดังนั้นจำนวนของสตริงความยาว 6 ที่ประกอบขึ้นจากตัวอักษรภาษาอังกฤษและตัวเลขที่มีสระ 1 ตัว $=(5.(21)^{5})+(5.(21)^{5})+(5.(21)^{5})+(5.(21)^{5})+(5.(21)^{5})+(5.(21)^{5})=6.(5.(21)^{5})$

ข้อย่อย 2

พิจารณาสตริงความยาว 6 ที่มีสระสองตัว แบบหนึ่งที่เป็นไปได้ จะมีจำนวน $5^{2}(21^{4})$แบบ และเราต้องเลือกด้วยว่าจะให้สระสองตัวนี้อยู่ตำแหน่งไหนในสตริงความยาว 6 ตัว ดังนั้น สตริงความยาว 6 ที่มีสระสองตัวมีทั้งหมด ${6 \choose 2}5^{2}(21^{4})$ แบบ

ข้อย่อย 3

ให้ A เป็นเซตของสตริงความยาว 6 ที่ประกอบขึ้นจากตัวอักษรภาษาอังกฤษทั้งหมด จะได้ว่า $|A|={26 \choose 6}6!$ แบบ (เกิดการการเลือกตัวอักษร 6 ตัวจากทั้งหมด 26 ตัว และตัวอักษร 6 ตัวที่เลือกมายังสามารถมาเรียงสับเปลี่ยนกันได้สตริงได้อีก 6! แบบ)

ให้ B เป็นเซตของสตริงความยาว 6 ที่ประกอบขึ้นจากตัวอักษรภาษาอังกฤษทั้งหมดที่มีสระอย่างน้อย 1 ตัว

จะได้ว่า A-B คือเป็นเซตของสตริงความยาว 6 ที่ประกอบขึ้นจากตัวอักษรภาษาอังกฤษทั้งหมดที่ไม่มีสระเลย

ซึ่ง $|A-B|={21 \choose 6}6!$

ดังนั้น $|B|={26 \choose 6}6!-{21 \choose 6}6!$ แบบ

ข้อย่อย 6

พิจารณาการสร้างสตริงความยาว 6 ที่ประกอบขึ้นจากตัวอักษรที่ไม่มีตัวอักษรใด ๆ ปรากฏมากกว่า 1 ครั้ง จะได้ว่า ตำแหน่งแรกเลือกตัวอักษรได้ 26 ตัว ตำแหน่งที่สองเลือกได้ 25 ตัวเพราะเลือกตัวอักษรที่ซ้ำกับตำแหน่งแรกไม่ได้แล้ว ตำแหน่งที่สามเลือกตัวอักษรได้ 24 ตัว เพราะเลือกตัวอักษรที่ซ้ำกับตำแหน่งแรกและตำแหน่งที่สองไม่ได้แล้ว คิดแบบนี้ไปเรื่อย ๆ จนครบหกตำแหน่งจะได้ว่า จำนวนสตริงความยาว 6 ที่ประกอบขึ้นจากตัวอักษรและตัวเลขที่ไม่มีตัวอักษรใด ๆ ปรากฏมากกว่า 1 ครั้ง = $26\times 25\times 24\times 23\times 22\times 21$ แบบ