418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II/เฉลยข้อ 1

ข้อย่อย 1

สูตรคือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 411968282
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:13 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

base case: ให้ $n=1$

${\frac {1}{2^{1}}}={\frac {2^{1}-1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}$ เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือสมมติให้ p(n) คือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 415665649
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:14 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$ เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า p(n+1) คือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 413569167
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:25 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {2^{n+1}-1}{2^{n+1}}}$ เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติไว้คือ

บวกทั้งสองข้างของสมการด้วย

จะได้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 391440797
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:27 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 419169165
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:28 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$={\frac {2}{2}}.{\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 408167425
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:14 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$={\frac {2^{n+1}-2}{2^{n+1}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 416584063
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:14 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

ข้อย่อย 2

สูตรคือ

base case: ให้

${\frac {1}{1(1+1)}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}$ เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือสมมติให้ p(n)คือ เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติไว้คือ ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$

บวก ${\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$ ทั้งสองข้างของสมการ

จะได้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 419595622
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:15 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}={\frac {n}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 414224405
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:15 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$={\frac {n}{(n+1)}}.{\frac {(n+2)}{(n+2)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 412032014
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:16 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$={\frac {(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)}}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 402141009
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:35 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$={\frac {(n+1)}{(n+2)}}$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า เป็นจริง

ข้อย่อย 3

(Base Case) เนื่องจาก $n=0\,$ เราได้ว่า

(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 398017344 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:38 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $1^{2}+3^{2}+\dotsb +(2(n+1)+1)^{2}\,$
	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 417469499 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:17 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 ${\frac {(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}}+(2n+3)^{2}\,$
	$=\,$	$(2n+3){\bigg [}{\frac {(n+1)(2n+1)}{3}}+(2n+3){\bigg ]}\,$
		Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 390557190 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:17 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $(2n+3){\bigg [}{\frac {2n^{2}+3n+1+3(2n+3)}{3}}{\bigg ]}\,$
	$=\,$
	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 416649307 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:18 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $(2n+3){\frac {(n+2)(2n+5)}{3}}\,$

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน

ข้อย่อย 4

base case: คือ n=5 แทนค่าจะได้

เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือ สมมติให้ p(n) คือ เป็นจริง ต้องการแสดงว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 380960218
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:48 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2^{n+1}>(n+1)^{2}$ เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 417598400
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:18 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2^{n}>n^{2}$

คูณ 2 ทั้งสองข้างของสมการจะได้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 394250572
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:18 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2^{n+1}>n^{2}+n^{2}$

เนื่องจาก n>4

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 401976534
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:52 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2^{n}>n^{2}$ เป็นจริง เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 4

ข้อย่อย 5

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 2 และเราได้ว่า

(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 2 และให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 406659567 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:19 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $(1+{\frac {1}{4}}+\dotsb +{\frac {1}{n^{2}}})+{\frac {1}{(n+1)^{n}}}\,$
		Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 406531348 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:19 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\,$
	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 403060070 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:56 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $<\,$
	$=\,$	$2-{\frac {1}{n}}{\frac {n}{n+1}}\,$

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง ทุกจำนวน

ข้อย่อย 6

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 0 และเราได้ว่า ซึ่งหารด้วย 6 ได้ลงตัว

(Induction Case) สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และสมมติให้ หารด้วย 6 ลงตัว

พิจารณาค่า

เราได้ว่า 6 หาร $3n(n+1)$ ลงตัวเนื่องจาก 3 หาร $3n(n+1)$ ลงตัว นอกจากนี้ 2 ยังหาร ลงตัวเนื่องจากในค่า และ $n+1$ ลงตัว จะต้องมีสักตัวที่เป็นจำนวนคู่

เนื่องจาก 6 หารทั้ง และ ลงตัว เราจึงได้ว่า 6 หาร

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 411573716
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:07:07 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$(n^{3}-n)+3n(n+1)=(n+1)^{3}-(n+1)$ ลงตัวด้วย

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า 6 หาร ลงตัวสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน

ข้อย่อย 7

ก่อนเราจะทำการพิสูจน์ข้อความในโจทย์ เราจะทำการพิสูจน์ lemma ต่อไปนี้

lemma: ให้ $A\,$,

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 392158932
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:20 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$B\,$, $C\,$ และ เป็นเซตใดๆ ที่ และ แล้ว

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 404825997
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:20 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$A\cap B\subseteq C\cap D$

พิสูจน์ (lemma): ให้ x เป็นค่าใดๆ สมมติให้ เราได้ว่า $x\in A$ และ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 399522372
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:21 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$x\in B$

เนื่องจาก และ เราได้ว่า และ ด้วย ดังนั้น

เนื่องจาก x เป็นค่าใดๆ เราจึงสามารถสรุปได้ว่า $\forall x,[x\in A\cap B\rightarrow x\in C\cap D]$ ฉะนั้น

พิสูจน์ (โจทย์)

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 ในกรณีนี้เราได้ว่า

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้ข้อความที่โจทย์ต้องการพิสูจน์เป็นจริง

เราได้ว่า $\bigcap _{i=1}^{n+1}A_{i}=A_{n+1}\cap \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$ และ

โจทย์กำหนดว่า และจาำกสมมติฐานเราได้ว่า ฉะนั้นด้วย lemma เราได้ว่า

ฉะนั้นเราจึงสรุปได้ว่าข้อความในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกค่า

ข้อย่อย 8

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราจะได้ว่า $1\cdot 2^{1-1}=1=(1-1)2^{1}+1$

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง ได้ว่า

	$=\,$
	$=\,$	$(n-1)2^{n}+1+(n+1)\cdot 2^{n}\,$
	$=\,$	$(2n)\cdot 2^{n}+1\,$

ดังนั้นเราสรุปได้ว่าสมการเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

ข้อ 9

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราได้ว่า ซึ่งหารด้วย 21 ลงตัว

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 414681694
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:22 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$4^{n+1}+5^{2n-1}$ หารด้วย 21 ลงตัว

เราได้ว่า $4^{n+2}+5^{2n+1}=4\cdot 4^{n+1}+25\cdot 5^{2n-1}=(25-21)4^{n+1}+25\cdot 5^{2n-1}=25(4^{n+1}+5^{2n-1})+21\cdot 4^{n+1}$

จากสมมติฐาน เราได้ว่า 21 หาร ลงตัว ดังนั้นมันจึงหาร

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 386358520
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:22 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$25(4^{n+1}+5^{2n-1})$ ลงตัว และเนื่องจาก 21 หาร

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 413341119
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:07:31 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$21\cdot 4^{n+1}$ ลงตัว เราจึงได้ว่า 21 หาร

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่า 21 หาร

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 416813145
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:22 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$4^{n+1}+5^{2n-1}$ ลงตัวสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

ข้อ 10

lemma: สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ $2{\sqrt {n+1}}+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}>2{\sqrt {n+2}}$

พิสูจน์ (lemma): เราได้ว่า

Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 381090197 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:23 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 ${\sqrt {n+2}}+{\sqrt {n+1}}$
$({\sqrt {n+2}}+{\sqrt {n+1}}){\frac {{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n+1}}}{{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n+1}}}}$
	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 376634950 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:23 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $>\,$	$2{\sqrt {n+1}}$
Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 410788534 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:23 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 ${\frac {1}{\sqrt {n+1}}}$		Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 378075270 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:23 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2{\sqrt {n+2}}-2{\sqrt {n+1}}$
Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 413341216 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:07:42 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2{\sqrt {n+1}}+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}$

พิสูจน์ (โจทย์)

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 เราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 398245974
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 22 Feb 2026 18:06:24 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$1>0.82842712474619029\dotsb =2({\sqrt {1+1}}-1)\,$

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้อสมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

$1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}+\dotsb +{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}>2({\sqrt {n+1}}-1)+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}=2{\sqrt {n+1}}+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}-2>2{\sqrt {n+2}}-2=2({\sqrt {n+2}}-1)$

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าอสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกตัว