418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II/เฉลยข้อ 6

ข้อย่อย 1

ก่อนอื่นเราจะนิยามฟังก์ชัน min และ max สำหรับค่าสองค่าก่อน ดังนี้

$\mathrm {min2} (a,b)={\begin{cases}a,&a\leq b\\b,&a>b\end{cases}}$

และ

$\mathrm {max2} (a,b)={\begin{cases}a,&a\geq b\\b,&a<b\end{cases}}$

จากนั้นเราจึงนิยามฟังก์ชัน min และ max สำหรับค่า n ค่าใดๆ ดังต่อไปนี้

$\min(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})={\begin{cases}a_{1},&n=1\\\mathrm {min2} (\min(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}),&n>1\end{cases}}$

และ

$\max(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})={\begin{cases}a_{1},&n=1\\\mathrm {max2} (\max(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}),&n>1\end{cases}}$

ข้อย่อย 2

ก่อนเราจะพิสูจน์ข้อความในโจทยฺ์ เราจะพิสูจน์ lemma ต่อไปนี้ก่อน

lemma 1: ให้ $a\,$ และ $b\,$ เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว $\mathrm {max2} (-a,-b)=-\mathrm {min2} (a,b)\,$ พิสูจน์ (lemma 1):