418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการวิเคราะห์เชิงการจัด/เฉลยข้อ 1

ในปัญหาข้อนี้ให้ $A_{n,k}\,$ แทนเซตของจำนวนเต้มจาก 1 ถึง $n\,$ ที่ หารลงตัว เราได้ว่า

ให้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 703040005
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 07:45:32 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$B_{k}\,$ แทนเซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่ k หารลงตัว เราได้ว่า $B_{k}=A_{9999,k}-A_{999,k}\,$ ฉะนั้น $|B_{k}|=|A_{9999,k}|-|A_{999,k}|={\bigg \lfloor }{\frac {9999}{k}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{k}}{\bigg \rfloor }\,$

ข้อ 1

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่ 9 หารลงตัวคือ $B_{9}\,$ ซึ่งมีสมาชืก ตัว

ข้อ 2

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่เป็นจำนวนคู่คือ ซึ่งมีสมาชืก ${\bigg \lfloor }{\frac {9999}{2}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{2}}{\bigg \rfloor }=4999-499=4500\,$ ตัว

ข้อ 3

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่ 3 หารลงตัว คือ $B_{3}\,$ ซึ่งมีสมาชิก ${\bigg \lfloor }{\frac {9999}{3}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{3}}{\bigg \rfloor }=3333-333=3000\,$ ตัว

ดังนั้นเซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 999 ที่ 3 หารไม่ลงตัวจึงมีสมาชิกทั้งหมด $(9999-1000+1)-3000=9000-3000=6000\,$ ตัว

ข้อ 4

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่หารด้วย 5 หรือ 7 ลงตัวคือ

เรารู้ว่า

Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 681909815 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 07:45:34 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $|B_{5}\cup B_{7}|\,$	$=\,$
	$=\,$	$|B_{5}|+|B_{7}|-|B_{35}|\,$
		${\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{5}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{5}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}+{\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{7}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{7}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}-{\bigg (}{\bigg \lfloor }{\frac {9999}{35}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{35}}{\bigg \rfloor }{\bigg )}\,$
		$(1999-199)+(1428-142)-(285-28)\,$
	$=\,$	$1800+1286-257\,$
	$=\,$	ตัว

ข้อ 5

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่ 5 และ 7 หารลงตัวคือ $B_{5}\cap B_{7}=B_{35}\,$ ซึ่งมีสมาชิก

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 692787517
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 07:45:36 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\bigg \lfloor }{\frac {9999}{35}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{35}}{\bigg \rfloor }=285-28=257\,$ ตัว

ดังนั้นเซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 999 ที่ 5 และ 7 หารไม่ลงตัวจึงมีสมาชิกทั้งหมด ตัว

ข้อ 6

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่หารด้วย 5 หรือ 7 หรือ 11 ลงตัวคือ

เรารู้ว่า

		$|B_{5}|+|B_{7}|+|B_{11}|-|B_{35}|-|B_{55}|-|B_{77}|+|B_{385}|\,$
		Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 685285419 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 07:45:37 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $(1999-199)+(1428-142)+(909-90)-(285-28)-(181-18)-(129-12)+(25-2)\,$
	$=\,$
	$=\,$	$3391\,$ ตัว

ข้อ 7

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่ 5 และ 7 หารลงตัว คือ $B_{5}\cup B_{7}\,$ ซึ่งมีสมาชิก

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 699668847
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 07:45:57 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$257\,$ ตัว

เซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 9999 ที่ 11 หารลงตัว คือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 687152210
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 07:45:58 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$B_{11}\,$ ซึ่งมีสมาชิก ${\bigg \lfloor }{\frac {9999}{11}}{\bigg \rfloor }-{\bigg \lfloor }{\frac {999}{11}}{\bigg \rfloor }=909-90=819\,$ ตัว

และเซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 999 ที่ 11 หารไม่ลงตัวจึงมีสมาชิกทั้งหมด ตัว

ดังนั้นเซตของจำนวนเต็มจาก 1000 ถึง 999 ที่ 5 และ 7 หารลงตัว แต่ 11 หารไม่ลงตัวจึงมีสมาชิกทั้งหมด

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 712999701
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 19 Apr 2026 07:46:00 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$257+1881=2138\,$ ตัว