418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการวิเคราะห์เชิงการจัด/เฉลยข้อ 2

ข้อ 1

เนื่องจากเจ้าสารต้องอยู่ในภาพ มีวิธีเลือกคน 5 คนจากคน 9 คนที่เหลืออยู่ ${9 \choose 5}\,$ วีธี และมีวิธีจัดคน 6 คนให้เรียงกันเพื่อถ่ายรูปอยู่ $6!\,$ วีธี ฉะนั้นมีวิธีจัดคนถ่ายรูปโดยมีเจ้าสาวทั้งหมด ${9 \choose 5}6!=90720\,$ วีธี

ข้อ 2

เนื่องจากเจ้าสาวและเจ้าบ่าวต้องอยู่ในภาพ มีวิธีเลือกคน 4 คนจากคน 8 คนที่เหลืออยู่ ${8 \choose 4}\,$ วีธี และมีวิธีจัดคน 6 คนให้เรียงกันเพื่อถ่ายรูปอยู่ $6!\,$ วีธี ฉะนั้นมีวิธีจัดคนถ่ายรูปโดยมีเจ้าสาวทั้งหมด ${8 \choose 4}6!=50400\,$ วีธี

ข้อ 3

ให้ $A\,$ เป็นเซตของวิธีการจัดคนโดยให้มีเจ้าสาวอยู่ในภาพ และให้ เป็นเซตของวิธีการจัดคนโดยให้มีเจ้าบ่าวอยู่ในภาพ

โจทย์ต้องการหา $|(A\cup B)-(A\cap B)|=|A|+|B|-2|A\cap B|\,$

จากข้อ 1 เราได้ว่า $|A|=|B|={9 \choose 5}6!\,$ และจากข้อ 2 เราได้ว่า $|A\cap B|={8 \choose 4}6!\,$

ดังนั้น $|(A\cup B)-(A\cap B)|=2{9 \choose 5}6!-2{8 \choose 4}6!=2(90720-50400=80640\,$

ข้อ 4

ให้ $B\,$ แทนเจ้าสาวและให้ $G\,$ แทนเจ้าบ่าว มีวิธีจัดให้คนสองคนนี้อยู่ติดกันสองวิธีคือ เจ้าสาวอยู่ทางซ้ายของเจ้าบ่าว $BG\,$ หรือเจ้าสาวอยู่ทางขวาของเจ้าบ่าว $GB\,$

ในการเลือกคนมา 6 คนเพื่อถ่ายรูป มีวิธีเลือกคนสี่คนที่เหลืออยู่ ${8 \choose 4}\,$ วิธี

เสร็จแล้วเราจึงนำคน 6 คนที่เหลือมาเรียงเพื่อจะถ่ายรูป แต่เนื่องจากเจ้าสาวกับเจ้าบ่าวต้องอยู่ติดกัน เราจึงสามารถคิดว่าสองคนนี้เป็นคนเพียงคนเดียวได้ กล่าวคือถ้าคนคนอื่นที่เลือกมาคือ $a,b,c,d\,$ เราจะทำการเรียงสับเปลี่ยน $a,b,c,d,\,$ และ $BG\,$ หรือไม่ก็ $a,b,c,d,\,$ และ $GB\,$ เนื่องจากแต่ละกรณีมีวิธัีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด $5!\,$ วิธี ดังนั้นมีวิธีจัดคนถ่ายรูปทั้งหมด $2{8 \choose 4}5!=16800\,$ วิธี

ข้อ 5

จากข้อ 2 มีวิธีจัดคนถ่ายรูปที่มีเจ้าบ่าวกับเจ้าสาวอยู่ในรูปทั้งหมด