418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 5

พิจารณาเหตุการณ์ที่ $X=n\,$ เราได้ว่าการโยนเหรียญครั้งสุดท้ายในการโยนเหรียญ $n\,$ ครั้งจะต้องออกหัว ส่วนในการโยนเหรียญ $n-1$ ครั้งแรกจะต้องมีหัวอยู่ $k-1\,$ และมีก้อยอยู่ $n-k\,$ ครั้ง

เนื่องจากมีวิธีเลือกตำแหน่งใน $n-1\,$ ตำแหน่งให้เป็นหัวจำนวน $k-1\,$ ตำแหน่ง ทั้งหมด ${n-1 \choose k-1}\,$ วิธี และเนื่ีองจากความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัวและก้อยในตำแหน่งที่กำหนดมีค่าเท่ากับ $p^{k}(1-p)^{n-k}\,$ เราจึงได้ว่าความน่าจะเป็นที่เราจะต้องโยนเหรียญเป็นจำนวน $n\,$ ครั้งจนกว่าเหรียญจะออกหัว $k\,$ ครั้งมีค่าเท่ากับ ${n-1 \choose k-1}p^{k}(1-p)^{n-k}$