418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 8
ข้อ 1
เราได้ว่า
![{\displaystyle E[X_{0}]=X_{0}=S\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4b5d825f33d33ad278a1ba55c367d12a6ac9875)
พิจารณา เราได้ว่า
![{\displaystyle E[X_{n}\ |\ X_{n-1}=c]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad46e4c71c2141012cc06915bd9c052deacb7006)
![{\displaystyle E[X_{n}\ |\ X_{n-1}=c]={\frac {1}{2}}\cdot 2c+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c}{4}}={\frac {9}{8}}c\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ad1157bcad1271f50101033fd2b0bdd28166a22)
ฉะนั้น จาก law of total expectation,
![{\displaystyle E[X_{n}]=\sum _{c}\Pr(X_{n-1}=c)E[X_{n}\ |\ X_{n-1}=c]=\sum _{c}\Pr(X_{n-1}=c)\cdot {\frac {9}{8}}c={\frac {9}{8}}\sum _{c}c\Pr(X_{n-1}=c)={\frac {9}{8}}E[X_{n-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a55747530c132a69d01899669553552507acd566)
ด้วยเหตุนี้เราสามารถสรุปได้ว่า สำหรับจำนวนเต็ม ที่ไม่เป็นลบทุกตัว
![{\displaystyle E[X_{n}]={\bigg (}{\frac {9}{8}}{\bigg )}^{n}S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5142f07f05b5ec1392cd505a833f29694368fb20)
ข้อ 2
สมมติว่าโยนเหรียญแล้วขึ้นหัว ครั้ง แสดงว่าขึ้นก้อย ครั้ง และได้ว่าหลังจบเกม ผู้เล่นจะมีเงินเหลือ หน่วย
ถ้าผู้เล่นจะไม่ขาดทุน หมายความว่า กล่าวคือ หรือ ซึ่งหมายความว่า
สรุปได้ว่าจะต้องมีการโยนหัวอย่างน้อย ครั้ง
ข้อ 3
ให้ แทนจำนวนหัวที่โยนเหรียญได้ เราได้ว่า เป็นตัวแปรสุ่มแบบ binomial ที่มี parameter ฉะนั้น
ความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะไม่ขาดทุนมีค่าเท่ากับ จากอสมการของมาร์คอฟ เราได้ว่า
ข้อ 4
เนื่องจาก เป็นตัวแปรสุ่มแบบ binomial เราได้ว่า
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X]=n\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\bigg (}1-{\frac {1}{2}}{\bigg )}={\frac {1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb620b377bfb8cc34f6fde3a30812117b244878)
ความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะไม่ขาดทุนมีค่าเท่ากับ จากอสมการของมาร์คอฟ เราได้ว่า
