204512-53/lecture9

จดบันทึกคำบรรยายโดย:

นายนววิธ นวลขาว รหัสนักศึกษา 5214550162

นายธีระชัย ราชมณี รหัสนักศึกษา 5214550138

นายอรรณพ กอบกิจ รหัสนักศึกษา 5214550359

Matrix Chain Multiplication

โจทย์ของการคูณเมตริกซ์คือ ต้องการคูณเมตริซ์ n ตัว ยิ่ง n มากการจัดการคูณยิ่งลำบาก

เมื่อ m คือขนาดของเมตริกซ์

ถ้า Anm × Bmp ความเร็วในการคูณเมตริกซ์ A B = O (n×m×p)

1.ดังนั้นการจัดลำดับของการคูณจะมีผลต่อความเร็ว โดยการจัดลำดับนั้น ก็คือการจัดกลุ่มของการคูณ (Associative)

2.รูปแบบการคูณครั้งสุดท้ายมีได้ n-1 แบบ

ในการจัดกลุ่มของการคุณ ต้องดูกรณีที่เป็นไปได้ว่ามีกี่กรณีที่สามารถนำเมตริซ์มาคูณกันได้ พิจารณา เมื่อเริ่มแบ่งกลุ่มจะได้ว่า

จากนั้นคูณหาผลลัพธ์เพื่อดูว่าการจัดกลุ่มแบบไหนจัดการได้ง่ายสุด

สมมุติให้มีการคูณกันของ 5 เมตริกซ์

เราสามารถแบ่งแยกออกเป็นปัญหาย่อยได้

เมื่อเราแบ่งกลุ่มการคูณออกไปเรื่อยๆ จะสังเกตุว่าเกิดรูปแบบการคูณขึ้นซ้ำ ซึ่งหากเราวิเคราะห์และจัดการกับกรณีที่เกิดซ้ำๆได้ จะมีผลในเรื่องของความเร็ว หมายความว่าจำนวนครั้งในการคูณก็จะลดลง

ดังนั้นวิธีการที่จะนิยามปัญหานั้นเริ่มด้วย

1.แตกปัญหาใหญ่ออกมาเป็นปัญหาย่อยๆ

2.แปลงปัญหาย่อยให้อยู่ในรูป abstract

เรานิยามปัญหานี้ว่า

กำหนดให้ Xij แทนจำนวนครั้งของการคูณที่น้อยที่ใดในการคำนวณ

m : คือจำนวนครั้ง

ตัวอย่าง

A1 × A2 × A3 × A4 × A5 ให้หา X15 กำหนดค่า row/column ของแต่ละเมตริกซ์เป็น

(10×100) × (100×20) × (20×400) × (400×200) × (200×100) ตามลำดับ

วิธีที่ง่ายคือตีตาราง

เมื่อ i=j คือการคูณตัวเองผลลัพธ์เป็นศูนย์ สังเกตุว่า หรือ ค่าจะเท่ากัน ในการคิดเราสามารถคิดตัวใดตัวหนึ่งแทนได้

จากตารางจึงคิดแค่ส่วนเดียวคือส่วนที่ไม่ระบายสี เทคนิคที่ช่วยจำกรณีเกิดการซ้ำของการคูณในการทำ recursion คือ Memorization

---

Linear Programming

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์วิเคราะห์ปัญหาการวางแผน(planning)

การผลิตและการจัดการภายใต้ข้อจำกัด (Subject to) ของปัจจัยการผลิตชนิดต่างๆ เพื่อเลือกทางเลือกที่มีความเหมาะสมมากที่สุด

(อันได้แก่ กำไรสูงสุดหรือต้นทุนต่ำสุด)

ทบทวน สมการเชิงเส้น คือ ความสัมพันธ์ของตัวแปร เช่น

ตัวอย่าง

โรงงานรับผลิตรองเท้าข้างซ้ายและข้างขวา ให้

จำนวนรองเท้าของซ้าย

จำนวนรองเท้าข้างขวา

S.B. ต้องผลิตจำนวนรองเท้าข้างซ้ายเท่ากับข้างขวา

จำนวนเพชรที่ใช้ในการผลิต คือ ข้างซ้าย 2 เม็ต ข้างขวา 1 เม็ด โดยมีจำนวนเพชรทั้งหมด1000 เม็ด

---

Linear Programming: Max Flow

f1, ….,f7 โดย f1, ….f7 ≥ 0

Objective : max f1+f6

f1 ≤ 20, f2 ≤ 10, f6 ≤ 20

f6 = f2+f4 , f6+f4 = f7+f5

Linear Programiming : Max Flow Node V = { 1,2…..,n } , source S, Sink

Capacity C : VxV -> R

ตัวแบ่ง : V u,v f(u,v) แทน flow จากโนด u ไป v

Subject to

                       ∀ u,v   f (u,v)  = - f (v,u)
                       ∀ u,v   f (u,v)  ≤  C (u,v)
                       ∀ u,v ไม่เป็นสมาชิก {s,t}   

Shortest Paths by Linear Programming

ให้กราฟ G = (V,E) , Source S, Destination t, ความยาว l : E-> R

Maximize D(t)

เงื่อนไข