418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ I/เฉลยข้อ 3

ข้อย่อย 1

จากที่ $a,b$ เป็นจำนวนจริง สมมติให้ $a<b<0$ ต้องการพิสูจน์ว่า $a^{2}>b^{2}$ เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติให้ $a<b$ เป็นอสมการที่ 1

คูณด้วย a ทั้งสองข้างของอสมการที่ 1 จะได้ $a^{2}>a.b$ เนื่องจาก $a<0$

คูณด้วย b ทั้งสองข้างของอสมการที่ 1 จะได้ $a.b>b^{2}$ เนื่องจาก $b<0$

ดังนั้นจะได้ว่า $a^{2}>a.b>b^{2}$ เป็นจริง

เราสามารถสรุปได้ว่า เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $a<b<0$ แล้ว $a^{2}>b^{2}$

ข้อย่อย 2

ให้ $a$ เป็นจำนวนจริง สมมติให้ $a^{3}>a$ เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า $a^{5}>a$ เป็นจริง

จาก $a^{3}>a$ ให้เป็นอสมการที่ 1

จะได้ $a.a^{2}>a$

ดังนั้น $a^{2}>1$ ให้เป็นอสมการที่ 2

จากอสมการ 1 คูณด้วย $a^{2}$ ทั้งสองข้าง

จะได้ $a^{3}.a^{2}>a.a^{2}$ เนื่องจากอสมการ 2

จะได้ $a^{5}>a^{3}$ ให้เป็นอสมการที่ 3

จากอสมการที่ 1 และ 3 จะได้ $a^{5}>a^{3}>a$

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าเมื่อ $a$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $a^{3}>a$ แล้ว $a^{5}>a$

ข้อย่อย 3

เมื่อให้ $a,b$ เป็นจำนวนจริง ต้องการแสดงว่าถ้า $a<b$ แล้ว ${\frac {a+b}{2}}<b$ เป็นจริง

สมมติให้ $a<b$ เป็นอสมการที่ 1

บวก $b$ ทั้งสองข้างของอสมการ 1

จะได้ $a+b<b+b$ ให้เป็นอสมการที่ 2

หาร 2 ทั้งสองข้างของอสมการที่ 2 จะได้

${\frac {a+b}{2}}<{\frac {b+b}{2}}=b$

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าเมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $a<b$ แล้ว ${\frac {a+b}{2}}<b$

ข้อย่อย 4

สมมติว่า $c\leq d$

เนื่องจาก $0<a$ ดังนั้น $ac\leq ad$

เนื่องจาก $d>0$ และ $a<b$ ดังนั้น $ad<bd$

ดังนั้น $ac<bd$

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่า ถ้า $ac\geq bd$ แล้ว $c>d$

ข้อย่อย 5

จากโจทย์กำหนดให้ $A-B\subseteq C\cap D,x\in A$ เป็นจริง ต้องการแสดงว่า ถ้า $x\notin D$ แล้ว $x\in B$ จะทำการพิสูจน์โดยแสดงว่า ถ้า $x\notin B$ แล้ว $x\in D$ แทน

สมติให้$x\notin B$ เป็นจริง จาก $A-B\subseteq C\cap D$ หมายความว่า $[(x\in A)\wedge (x\notin B)]\rightarrow [(x\in C)\wedge (x\in D)]$ และจากที่รู้ว่า $x\in A,x\notin B$ จริงทั้งคู่ จะได้ว่า $x\in C,x\in D$ เป็นจริงด้วย

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า เมื่อ $A-B\subseteq C\cap D,x\in A$ ถ้า $x\notin D$ แล้ว $x\in B$