418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ I/เฉลยข้อ 7

ข้อ 1

การพิสูจน์สามารถแบ่งออกได้เป็น 2 กรณี

1. x เป็นจำนวนเต็มคู่: ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $x=2k$ เราได้ว่า $x^{2}+x=(2k)^{2}+2k=4k^{2}+2k=2(2k^{2}+2)$ ฉะนั้น $x^{2}+x$ เป็นจำนวนเต็มคู่
2. x เป็นจำนวนเต็มคี่: ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ เราได้ว่า $x^{2}+x=(2k+1)^{2}+2k+1=4k^{2}+4k+1+2k+1=2(2k^{2}+3k+1)$ ฉะนั้น $x^{2}+x$ เป็นจำนวนเต็มคู่ในกรณีนี้เช่นเดียวกัน

ข้อ 2

สมมติว่า $|x-3|>3$ การพิสูจน์สามารถแบ่งออกได้เป็น 2 กรณี

1. $x-3\geq 0$

   เราได้ว่า $|x-3|=x-3$ และ $x-3>3$ ดังนั้น $x>6$ ฉะนั้น $x^{2}>6x$

2. $x-3<0\,$

   เราได้ว่า $|x-3|=3-x$ และ $3-x>3$ ดังนั้น $x<0$ ฉะนั้น $x^{2}>0>6x$