418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการวิเคราะห์เชิงการจัด/เฉลยข้อ 10

ให้ B เป็นเซตของคำตอบทั้งหมดของสมการ

จะได้ว่า $|B|={17+4-1 \choose 17}=1140\,$

ให้ A เป็นเซตของคำตอบของสมการโดยที่ $x_{1}\leq 3,x_{2}\leq 4,x_{3}\leq 5,x_{4}\leq 8$

จะได้ว่า B-A คือเซตของคำตอบทั้งหมดของสมการที่ $x_{1}>3$ หรือ $x_{/}>4$ หรือ $x_{3}>5$ หรือ $x_{4}>8$

ให้ $A_{1}$ เป็นเซตคำตอบของสมการที่ $x_{1}>3$

$A_{2}$ เป็นเซตคำตอบของสมการที่ $x_{2}>4$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 690662185
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 20 Apr 2026 02:38:46 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$A_{3}$ เป็นเซตคำตอบของสมการที่ $x_{3}>5$

$A_{4}$ เป็นเซตคำตอบของสมการที่ $x_{4}>8$

Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 712021006 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 20 Apr 2026 02:38:47 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $|B-A|\,$	$=\,$	$A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}\,$
	$=\,$	$|A_{1}|+|A_{2}|+|A_{3}|+|A_{4}|-|A_{1}\cap A_{2}|-|A_{1}\cap A_{3}|-|A_{1}\cap A_{4}|-|A_{2}\cap A_{3}|-|A_{2}\cap A_{4}|-|A_{3}\cap A_{4}|+|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}|\,$
	$\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 678573037 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 20 Apr 2026 02:38:48 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $+|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{4}|+|A_{1}\cap A_{3}\cap A_{4}|+|A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}|-|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}|\,$

หา

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 653157342
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 20 Apr 2026 02:38:49 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$|A_{1}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{1}>3$ ให้เป็นสมการที่ 1

จาก $x_{1}>3$ นั่นก็คือ $x_{1}\geq 4$ นั่นเอง

ให้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 660136233
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 20 Apr 2026 02:38:50 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$x_{1}^{'}=x_{1}-4$ แทนค่าในสมการที่ 1 ได้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 687421698
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 20 Apr 2026 02:38:50 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$x_{1}^{'}+4+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$

นั่นคือ $x_{1}^{'}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=13$ โดยที่ $x_{1}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{1}|={13+4-1 \choose 13}\,$

หา $|A_{2}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{2}>4$ ให้เป็นสมการที่ 2

จาก $x_{2}>4$ นั่นก็คือ $x_{2}\geq 5$ นั่นเอง

ให้ $x_{2}^{'}=x_{2}-5$ แทนค่าในสมการที่ 2 ได้ $x_{1}+x_{2}^{'}+5+x_{3}+x_{4}=17$

นั่นคือ $x_{1}+x_{2}^{'}+x_{3}+x_{4}=12$ โดยที่ $x_{2}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{2}|={12+4-1 \choose 12}\,$

หา $|A_{3}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{3}>5$ ให้เป็นสมการที่ 3

จาก $x_{3}>5$ นั่นก็คือ $x_{3}\geq 6$ นั่นเอง

ให้ $x_{3}^{'}=x_{3}-6$ แทนค่าในสมการที่ 3 ได้ $x_{1}+x_{2}+x_{3}^{'}+6+x_{4}=17$

นั่นคือ $x_{1}+x_{2}+x_{3}^{'}+x_{4}=11$ โดยที่ $x_{3}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{3}|={11+4-1 \choose 11}\,$

หา $|A_{4}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{4}>8$ ให้เป็นสมการที่ 4

จาก $x_{4}>8$ นั่นก็คือ $x_{4}\geq 9$ นั่นเอง

ให้ $x_{4}^{'}=x_{4}-9$ แทนค่าในสมการที่ 4 ได้ $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}^{'}+9=17$

นั่นคือ $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}^{'}=8$ โดยที่ $x_{4}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{4}|={8+4-1 \choose 8}\,$

หา $|A_{1}\cap A_{2}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{1}>3,x_{2}>4$ ให้เป็นสมการที่ 5

จาก $x_{1}>3,x_{2}>4$ นั่นก็คือ $x_{1}\geq 4,x_{2}\geq 5$ นั่นเอง

ให้ $x_{1}^{'}=x_{1}-4,x_{2}^{'}=x_{2}-5$ แทนค่าในสมการที่ 5 ได้ $x_{1}^{'}+4+x_{2}^{'}+5+x_{3}+x_{4}=17$

นั่นคือ $x_{1}^{'}+x_{2}^{'}+x_{3}+x_{4}=8$ โดยที่ $x_{1}^{'}\geq 0,x_{2}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{1}\cap A_{2}|={8+4-1 \choose 8}\,$

หา $|A_{1}\cap A_{3}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{1}>3,x_{3}>5$ ให้เป็นสมการที่ 6

จาก $x_{1}>3,x_{3}>5$ นั่นก็คือ $x_{1}\geq 4,x_{3}\geq 6$ นั่นเอง

ให้ $x_{1}^{'}=x_{1}-4,x_{3}^{'}=x_{3}-6$ แทนค่าในสมการที่ 6 ได้ $x_{1}^{'}+4+x_{2}+x_{3}^{'}+6+x_{4}=17$

นั่นคือ $x_{1}^{'}+x_{2}+x_{3}^{'}+x_{4}=7$ โดยที่ $x_{1}^{'}\geq 0,x_{3}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{1}\cap A_{3}|={7+4-1 \choose 7}\,$

หา $|A_{1}\cap A_{4}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{1}>3,x_{4}>8$ ให้เป็นสมการที่ 7

จาก $x_{1}>3,x_{4}>8$ นั่นก็คือ $x_{1}\geq 4,x_{4}\geq 9$ นั่นเอง

ให้ $x_{1}^{'}=x_{1}-4,x_{4}^{'}=x_{4}-9$ แทนค่าในสมการที่ 7 ได้ $x_{1}^{'}+4+x_{2}+x_{3}+x_{4}^{'}+9=17$

นั่นคือ $x_{1}^{'}+x_{2}+x_{3}+x_{4}^{'}=4$ โดยที่ $x_{1}^{'}\geq 0,x_{4}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{1}\cap A_{4}|={4+4-1 \choose 4}\,$

หา $|A_{2}\cap A_{3}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{2}>4,x_{3}>5$ ให้เป็นสมการที่ 8

จาก $x_{2}>4,x_{3}>5$ นั่นก็คือ $x_{2}\geq 5,x_{3}\geq 6$ นั่นเอง

ให้ $x_{2}^{'}=x_{2}-5,x_{3}^{'}=x_{3}-6$ แทนค่าในสมการที่ 8 ได้ $x_{1}+x_{2}^{'}+5+x_{3}^{'}+6+x_{4}=17$

นั่นคือ $x_{1}+x_{2}^{'}+x_{3}^{'}+x_{4}=6$ โดยที่ $x_{2}^{'}\geq 0,x_{3}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{1}\cap A_{3}|={6+4-1 \choose 6}\,$

หา $|A_{2}\cap A_{4}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{2}>4,x_{4}>8$ ให้เป็นสมการที่ 9

จาก $x_{2}>4,x_{4}>8$ นั่นก็คือ $x_{2}\geq 5,x_{4}\geq 9$ นั่นเอง

ให้ $x_{2}^{'}=x_{2}-5,x_{4}^{'}=x_{4}-9$ แทนค่าในสมการที่ 9 ได้ $x_{1}+x_{2}^{'}+5+x_{3}+x_{4}^{'}+9=17$

นั่นคือ $x_{1}+x_{2}^{'}+x_{3}+x_{4}^{'}=3$ โดยที่ $x_{2}^{'}\geq 0,x_{4}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{2}\cap A_{4}|={3+4-1 \choose 3}\,$

หา $|A_{3}\cap A_{4}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{3}>5,x_{4}>8$ ให้เป็นสมการที่ 10

จาก $x_{3}>5,x_{4}>8$ นั่นก็คือ $x_{3}\geq 6,x_{4}\geq 9$ นั่นเอง

ให้ $x_{3}^{'}=x_{3}-6,x_{4}^{'}=x_{4}-9$ แทนค่าในสมการที่ 10 ได้ $x_{1}+x_{2}+x_{3}^{'}+6+x_{4}^{'}+9=17$

นั่นคือ $x_{1}+x_{2}+x_{3}^{'}+x_{4}^{'}=2$ โดยที่ $x_{3}^{'}\geq 0,x_{4}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{3}\cap A_{4}|={2+4-1 \choose 2}\,$

และในทำนองเดียวกันสามารถหา $|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}|,|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{4}|,|A_{1}\cap A_{3}\cap A_{4}|,|A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}|,|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}|$ ได้ด้วยวิธีเดียวกัน

ซึ่งจะได้ $|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}|={2+4-1 \choose 2}\,$

ซึ่งจะได้ $|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{4}|=0\,$

ซึ่งจะได้ $|A_{1}\cap A_{3}\cap A_{4}|=0\,$

ซึ่งจะได้ $|A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}|=0\,$

ซึ่งจะได้ $|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}|=0\,$

ดังนั้นจะได้ว่า $|B-A|={16 \choose 13}+{15 \choose 12}+{14 \choose 11}+{11 \choose 8}-{11 \choose 8}-{10 \choose 7}-{7 \choose 4}-{9 \choose 6}-{6 \choose 3}-{5 \choose 2}+{5 \choose 2}$

$|B-A|=560+445+364-120-35-84-20=1110$

ดังนั้น $|A|=1140-1110=30$ แบบ