418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการวิเคราะห์เชิงการจัด/เฉลยข้อ 6

ข้อ 1

สำหรับ $i=1,2,\ldots ,6\,$ ให้ $x'_{i}=x_{i}-1\,$ เราได้ว่า $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}=(x'_{1}+1)+(x'_{2}+1)+\dotsb +(x'_{6}+1)=x'_{1}+x'_{2}+\dotsb +x'_{6}+6=29\,$ ดังนั้น $x'_{1}+x'_{2}+\dotsb +x'_{6}=23\,$

ฉะนั้นจำนวนคำตอบของสมการ $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}$ โดยที่ $x_{i}\geq 1\,$ จึงมีจำนวนเท่ากับจำนวนคำตอบของสมการ $x'_{1}+x'_{2}+\dotsb +x'_{6}=23\,$ โดยที่ $x'_{i}\geq 0\,$ ซึ่งมีจำนวนเท่ากับ ${23+6-1 \choose 23}=98280\,$

ข้อ 2

สำหรับ $i=1,2,\ldots ,6\,$ ให้ $x'_{i}=x_{i}-i\,$ เราได้ว่า $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}=(x'_{1}+1)+(x'_{2}+2)+\dotsb +(x'_{6}+6)=x'_{1}+x'_{2}+\dotsb +x'_{6}+21=29\,$ ดังนั้น $x'_{1}+x'_{2}+\dotsb +x'_{6}=8\,$

ฉะนั้นจำนวนคำตอบของสมการ $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}$ โดยที่ $x_{i}\geq 1\,$ จึงมีจำนวนเท่ากับจำนวนคำตอบของสมการ $x'_{1}+x'_{2}+\dotsb +x'_{6}=8\,$ โดยที่ $x'_{i}\geq 0\,$ ซึ่งมีจำนวนเท่ากับ ${8+6-1 \choose 8}=1287\,$

ข้อ 3

สมการ $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}=29\,$ โดยที่ $x_{i}\geq 0$ มีจำนวนคำตอบทั้งหมด ${29+6-1 \choose 29}=278256$ คำตอบ

เราจะนับจำนวนคำตอบของสมการ $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}=29\,$ โดยที่ $x_{1}>5\,$ ซึ่งหมายความว่า $x_{1}\geq 6\,$ ให้ $x'_{1}=x_{1}-6\,$ เราได้ว่า $x'_{1}+x_{2}+x_{3}+\dotsb +x_{6}=23\,$ โดยที่ $x'_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{6}\geq 0\,$ ฉะนั้นจึงมีจำนวนคำตอบทั้งหมดเท่ากับ ${23+6-1 \choose 23}=98280\,$

ฉะนั้นมีจำนวนคำตอบของสมการ $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}=29\,$ โดยที่

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 874228431
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 18 Apr 2026 00:10:30 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$x_{1}\leq 5\,$ เท่ากับ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 877994839
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 18 Apr 2026 00:10:30 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$278256-98280=179976\,$

ข้อ 4

ใช้การให้เหตุผลในข้อ 3 เราได้ว่าสมการ $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}=29\,$ โดยที่ $x_{2}>8\,$ มีจำนวนคำตอบทั้งหมด

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 889688428
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 18 Apr 2026 00:10:31 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${(29-9)+6-1 \choose 29-9}=53130$ คำตอบ

ใช้การให้เหตุผลเช่นเดิม เราได้ว่าสมการ $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}=29\,$ โดยที่ $x_{2}>8\,$ และ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 824242566
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 18 Apr 2026 00:10:32 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$x_{1}>8\,$ มีจำนวนคำตอบทั้งหมด

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 889295382
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 18 Apr 2026 00:10:32 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${(29-9-9)+6-1 \choose 29-9-9}={16 \choose 11}=4368$ คำตอบ

ดังนั้นสมการ $x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{6}=29\,$ โดยที่ $x_{2}>8\,$ และ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 832032946
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 18 Apr 2026 00:10:33 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$x_{1}\leq 8\,$ จึงมีจำนวนคำตอบทั้งหมด $53130-4368=48762\,$