418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 1

ให้ $X_{i}\,$ เป็น indicator random variable โดยที่ $X_{i}=1$ เมื่อคำว่า "proof" ปรากฏในข้อความที่ลิงพิมพ์โดยที่ตัวอักษร "p" ตรงกับตัวอักษรที่ $i\,$ ในข้อความที่ลิงพิมพ์

ให้ $X\,$ เป็น random variable ที่มีค่าเท่ากับจำนวนคำว่า "proof" ทั้งหมดที่ปรากฎอยู่ในข้อความที่ลิงพิมพ์ เราได้ว่า $X=X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{999996}$ ฉะนั้น $E[X]=E[X_{1}]+E[X_{2}]+\dotsb +E[X_{999996}]\,$

พิจารณาตัวแปรสุ่ม $X_{i}\,$ แต่ละตัว เราได้ว่า $E[X_{i}]\,$ มีค่าเท่ากับความน่าจะเป็นที่ลิงจะพิมพ์คำว่า "proof" โดยตัวอักษร p ตรงกับตัวอักษรที่ $i\,$ ของข้อความที่พิมพ์ทั้งหมด ฉะนั้น $E[X_{i}]={\frac {1}{26^{5}}}\,$

ด้วยเหตุนี้ จึงมีคำว่า "proof" ปรากฏอยู่ในข้อความที่ลิงพิมพ์โดยเฉลี่ยจำนวน $E[X]={\frac {999996}{26^{5}}}\approx 0.0842\,$ คำ