418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาตรรกศาสตร์, เซต, ความสัมพันธ์, ฟังก์ชัน I

ข้อ 1

[Rosen 1.1.2] ข้อความใดต่อไปนี้เป็นประพจน์บ้าง และถ้ามันเป็นประพจน์ มันมีค่าความจริงเท่ากับอะไร?

1. ห้ามผ่าน
2. ตอนนี้กี่โมงแล้ว?
3. ไม่มีห่านสีดำในประเทศไทย
4. 4 + x = 5
5. x + 1 = 5 ถ้า x = 1
6. x + y = y + z ถ้า x = z

เฉลย

ข้อ 2

[Rosen 1.1.5] ถ้า p และ q เป็นประพจน์ดังต่อไปนี้

p = "ขณะนี้อุณหภูมิต่ำกว่าจุดเยือกแข็ง"

q = "ขณะนี้หิมะตก"

จงเขียนประพจน์เหล่านี้โดยใช้ตัวอักษร p และ q และเครื่องหมายทางตรรกศาสตร์

1. ขณะนี้อุณหภูมิต่ำกว่าจุดเยือกแข็งและหิมะตก
2. ขณะนี้อุณหภูมิต่ำกว่าจุดเยือกแข็งแต่หิมะไม่ตก
3. ขณะนี้อุณหภูมิต่ำกว่าจุดเยีอกแข็ง หรือหิมะตก
4. ถ้าุอุณหภูมิต่ำกว่าจุดเยือกแข็ง หิมะจะตก
5. ในขณะหนึ่งๆ อุณหภูมิจะต่ำกว่าจุดเยือกแข็งหรือหิมะจะตก แต่หิมะจะไม่ตกถ้าอุณหภูมิต่ำกว่าจุดเยือกแข็ง
6. การที่อุณหภูมิตำกว่าจุดเยือกแข็งเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอและจำเป็นในการที่หิมะจะตก

เฉลย

ข้อ 3

[Rosen 1.1.13] เขียน converse และ contrapositive ของประพจน์ต่อไปนี้

1. ถ้าวันนี้หิมะตก พรุ่งนี้ผมจะเล่นสกี
2. ผมมาเรียนทุกครั้งที่จะมี quiz
3. จำนวนเต็มบวกใดๆ จะเป็นจำนวนเฉพาะ ถ้าหากไม่มีจำนวนเต็มบวกใดๆ ที่น้อยกว่ามันและมากกว่าหนึ่งที่หารมันลงตัว

เฉลย

ข้อ 4

[Rosen 1.1.15] จงเขียนตารางความจริงของประพจน์ต่อไปนี้

1. $p\wedge \neg p$
2. $p\vee \neg p$
3. $(p\vee \neg q)\rightarrow q$
4. $(p\vee q)\rightarrow (p\wedge q)$
5. $(p\rightarrow q)\leftrightarrow (\neg q\rightarrow \neg p)$
6. $(p\rightarrow q)\rightarrow (q\rightarrow p)$

เฉลย

ข้อ 5

[Rosen 1.2.8] จงแสดงว่าประพจน์ต่อไปนี้เป็น tautology ด้วยการใช้ตารางความจริง

1. $[\neg p\wedge (p\vee q)]\rightarrow q$
2. $[(p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow r)]\rightarrow (p\rightarrow r)$
3. $[p\wedge (p\rightarrow q)]\rightarrow q$
4. $[(p\vee q)\wedge (p\rightarrow r)\wedge (q\rightarrow r)]\rightarrow r$

เฉลย

ข้อ 6

[Rosen 1.2.9] จงแสดงว่าประพจน์ในข้อ 5 เป็น tautology โดยไม่ใช่ตารางความจริง

เฉลย

ข้อ 7

[Rosen 1.2.14, 1.2.15, และ 1.2.19] จงแสดงว่าประพจน์แต่ละคู่ต่อไปนี้สมมูลกันทางตรรกศาสตร์

1. $p\leftrightarrow q$ และ $(p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)$
2. $p\rightarrow (q\rightarrow r)$ และ $(p\wedge q)\rightarrow r$
3. $\neg (p\leftrightarrow q)$ และ $\neg p\leftrightarrow q$

เฉลย

ข้อ 8

[Rosen 1.3.6] ถ้า P(x,y) คือประพจน์เปิด "x เคยเรียนวิชา y" และให้ X คือเซตของนิสิต ม.เกษตร และ Y คือเซตของวิชาที่ ม.เกษตร เคยเปิดแล้ว จงเขียนประพจน์ต่อไปนี้เป็นภาษาไทย

1. $\exists x\in X,\exists y\in Y,P(x,y)$
2. $\exists x\in X,\forall y\in Y,P(x,y)$
3. $\forall x\in X,\exists y\in Y,P(x,y)$
4. $\exists y\in Y,\forall x\in X,P(x,y)$
5. $\forall y\in Y,\exists x\in X,P(x,y)$
6. $\forall x\in X,\forall y\in Y,P(x,y)$

เฉลย

ข้อ 9

[Rosen 1.3.10] ให้ F(x,y) เป็นประพจน์เปิด "x สามารถหลอก y ได้" โดยที่เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของคนทุกคนในโลก จงเขียนข้อความต่อไปนี้ในรูปประโยคสัญลักษณ์

1. ทุกคนสามารถหลอก A ได้
2. B สามารถหลอกทุกคนได้
3. ทุกคนสามารถหลอกคนบางคนได้
4. ไม่มีใครสามารถหลอกคนทุกคนได้
5. ทุกคนสามารถถูกหลอกด้วยคนบางคนได้
6. ไม่มีใครสามารถหลอกทั้ง A และ B ได้
7. A หลอกคนได้แค่สองคนเท่านั้น
8. มีคนเพียงแค่คนเดียวเท่านั้นที่ทุกคนสามารถหลอกได้
9. ไม่มีใครสามารถหลอกตัวเองได้
10. มีคนคนหนึ่งที่สามารถหลอกคนได้เพียงคนเดียวเท่านั้นที่ไม่ใช่ตัวเขา

เฉลย

ข้อ 10

[Rosen 1.3.21, 1.3.22, 1.3.26, 1.3.28] จงแสดงให้เห็นว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

1. $\forall x(P(x)\wedge Q(x))$ และ $\forall xP(x)\wedge \forall xQ(x)$ มีค่าความจริงเท่ากัน
2. $\exists x(P(x)\vee Q(x))$ และ $\exists xP(x)\vee \exists xQ(x)$ มีค่าความจริงเท่ากัน
3. $\forall xP(x)\vee \forall xQ(x)$ ไม่สมมูลทางตรรกศาสตร์กับ $\forall x(P(x)\vee Q(x))$
4. $\exists xP(x)\wedge \exists Q(x)$ ไม่สมมูลทางตรรกศาสตร์กับ $\exists x(P(x)\wedge Q(x))$

เฉลย

ข้อ 11

[Rosen 1.4.5] ข้อความต่อไปนี้ข้อความใดจริง ข้อความใดเท็จบ้าง?

1. $x\in \{x\}$
2. $\{x\}\subseteq \{x\}$
3. $\{x\}\in \{x\}$
4. $\{x\}\in \{\{x\}\}$
5. $\emptyset \subseteq \{x\}$
6. $\emptyset \in \{x\}$

เฉลย

ข้อ 12

[Rosen 1.4.13] เมื่อ $A\,$ เป็นเซต เรานิยามเซตกำลัง (power set) ของ $A\,$ (เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $P(A)\,$) ให้เป็นเซตของซับเซตทั้งหมดของ $A\,$ ยกตัวอย่างเช่น ถ้า $A=\{a,b\}\,$ แล้ว $P(A)=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$

เซตต่อไปนี้มีสมาชิกกี่ตัว?

1. $P(\{a,b,\{a,b\}\})\,$
2. $P(\{\emptyset ,a,\{a\},\{\{a\}\}\})$
3. $P(P(\emptyset ))$

เฉลย

ข้อ 13

[Rosen 1.5.12] ให้ A, B, และ C เป็นเซต จงแสดงว่า

1. $(A\cup B)\subseteq (A\cup B\cup C)$
2. $(A\cap B\cap C)\subseteq (A\cap B)$
3. $(A-B)-C\subseteq A-C$
4. $(A-C)\cap (C-B)=\emptyset$
5. $(B-A)\cup (C-A)=(B\cup C)-A$

เฉลย

ข้อ 14

[Rosen 1.5.18] จงเขียนแผนภาพเวนน์ของเซตต่อไปนี้

1. $A\cap (B\cup C)$
2. ${\overline {A}}\cap {\overline {B}}\cap {\overline {C}}$
3. $(A-B)\cup (A-C)\cup (B-C)$

เฉลย

ข้อ 15

ผลต่างสมมาตรของเซต A และ B คือเซตของสมาชิกที่อยู่ใน A หรือ B แต่ไม่อยู่ใน A และ B ทั้งคู่ เราเขียนแทนผลต่างสมมาตรของ A และ B ด้วยสัญลักษณ์ $A\oplus B$

1. จงเขียนแผนภาพเวนน์ของ $A\oplus B$
2. จงแสดงว่า $A\oplus B=(A\cup B)-(A\cap B)$
3. จงแสดงว่า $A\oplus B=(A-B)\cup (B-A)$
4. จงแสดงว่า $(A\oplus B)\oplus B=A$
5. ถ้า A, B, และ C เป็นเซต แล้ว $A\oplus (B\oplus C)=(A\oplus B)\oplus C$ หรือไม่?

เฉลย