เนื้อหา

1 ข้อ 1
2 ข้อ 2
3 ข้อ 3
4 ข้อ 4
5 ข้อ 5
6 ข้อ 6
7 ข้อ 7
8 ข้อ 8
9 ข้อ 9
10 ข้อ 10
11 ข้อ 11
12 ข้อ 12
13 ข้อ 13
14 ข้อ 14
15 ข้อ 15

ข้อ 1

จงแสดงว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

ถ้า $A\,$ เป็นเซต แล้ว $\emptyset \times A=A\times \emptyset$
ถ้า $A\,$ = $B\,$ และทั้งคู่ไม่ใช่เซตว่าง แล้ว $A\times B=B\times A$

เฉลย

ข้อ 2

จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์บนเซตของจำนวนเต็มบวกต่อไปนี้ มีคุณสมบัติสะท้อน สมมาตร ถ่ายทอด หรือปฏิสมมาตรหรือไม่

$\{(x,y)\ |\ x\neq y\}$
$\{(x,y)\ |\ xy\geq 1\}$
$\{(x,y)\ |\ (x=y+1)\vee (x=y-1)\}$
$\{(x,y)\ |\ x\equiv y{\pmod {7}}\}$
$\{(x,y)\ |\ x\,$ เป็นพหุคูณของ $y\}\,$
$\{(x,y)\ |\ [(x<0)\wedge (y<0)]\vee [(x>0)\wedge (y>0)]\}$
$\{(x,y)\ |\ x=y^{2}\}$
$\{(x,y)\ |\ x\geq y^{2}\}$

เฉลย

ข้อ 3

จงตอบคำถามต่อไปนี้

ถ้า R เป็นความสัมพันธ์บนเซตของคนในโลก ซึ่งมีสมาชิกเป็นคู่ลำดับ (a,b) โดยที่ a เป็นบิดาหรือมารดาของ b และให้ S เป็นความสัมพันธ์ที่มีสมาชิกเป็นคู่ลำดับ (a,b) เมื่อ a และ b เป็นพี่น้องกัน แล้ว $R\circ S$ และ $S\circ R$ มีความหมายว่าอะไร?
ถ้า R เป็นความสัมพันธ์บนเซต {1, 2, 3, 4, 5} โดย R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 4)} จงหาค่า $R^{2}$ , $R^{3}$ , $R^{4}$ , และ $R^{5}$

เฉลย

ข้อ 4

ถ้า R เป็นความสัมพันธ์ที่แทนด้วยเมตริกซ์

\mathbf {M} _{R}={\begin{bmatrix}0&1&1\\1&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}}

จงหาเมตริกซ์ที่แทนความสัมพันธ์ $R^{-1}\,$ , ${\overline {R}}\,$ , $R^{2}\,$ , $R^{3}\,$ , และ $R^{4}\,$

เฉลย

ข้อ 5

จงเขียนกราฟแบบมีทิศทางที่แทนความสัมพันธ์ต่อไปนี้ {(a, a), (a, b), (b, c), (c, b), (c, d), (d, a), (d, b)}

เฉลย

ข้อ 6

ความสัมพันธ์บนเซตของผู้คนใดต่อไปนี้เป็นความสัมพันธ์สมมูลบ้าง? ถ้าความสัมพันธ์ไหนไม่เป็น จงบอกว่ามันขาดคุณสมบัติข้อใด ถ้าความสัมพันธ์ไหนเป็น จงบอกว่า equivalence class ของมันคือเซตอะไร

{ (a, b) | a และ b มีอายุเท่ากัน }
{ (a, b) | a และ b เป็นลูกทางชีวภาพ (biological children) ของผู้ชายคนเดียวกัน }
{ (a, b) | พ่อของ a เป็นพ่อของ b ด้วย }
{ (a, b) | a เคยพบ b }
{ (a, b) | a และ b พูดภาษาเดียวกัน }

เฉลย

ข้อ 7

กำหนดเซต $A=\{(a,b)\ |\ (a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \wedge b\neq 0\}$ และกำหนดความสัมพันธ์ R บน A โดยที่

(a,b)\ R\ (c,d)\,

ก็ต่อเมื่อ

ad=bc\,

จงแสดงว่า R เป็นความสัมพันธ์สมมูล และอธิบายว่า equivalence class ของ R คืออะไรให้ง่ายที่สุดเท่าที่จะง่ายได้

เฉลย

ข้อ 8

[Rosen 6.5.30] ถ้า $R_{1}$ และ $R_{2}$ เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเซต A แล้ว

$R_{1}\cup R_{2}$ เป็นความสัมพันธ์สมมูลหรือไม่
$R_{1}\cap R_{2}$ เป็นความสัมพันธ์สมมูลหรือไม่
$R_{1}\oplus R_{2}$ เป็นความสัมพันธ์สมมูลหรือไม่

เฉลย

ข้อ 9

[Rosen 1.6.10] จงหาตัวอย่างของฟังก์ชันจาก $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

\mathbb {Z}

ไปยัง

\mathbb {Z}

ที่

เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแต่ไม่ทั่วถึง
เป็นฟังก์ชันทั่วถึงแต่ไม่หนึ่งต่อหนึ่ง
เป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง (แต่ไม่ใช้ฟังก์ชันเอกลักษณ์)
ไม่เป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง

เฉลย

ข้อ 10

[Rosen 1.6.15, 1.6.16] ถ้า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปยัง B และ g เป็นฟังก์ชันจาก B ไปยัง C แล้ว

จงแสดงว่าถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แล้ว $f\circ g$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
จงแสดงว่าถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันทั่วถึง แล้ว $f\circ g$ เป็นฟังก์ชันทั่วถึง
ถ้า f และ $f\circ g$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแล้ว g เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วยหรือไม่?

เฉลย

ข้อ 11

[Rosen 1.6.38] สมมติว่า f เป็นฟังก์ชันผันกลับได้จาก A ไปยัง B และ g เป็นฟังก์ชันผันกลับได้จาก B ไปยัง C แล้ว จงแสดงว่า $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}

เฉลย

ข้อ 12

กำหนด $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

{\mathcal {S}}

เป็นเซตของเซตทั้งหมด และกำหนดความสัมพันธ์ R บน

Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 518634695 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 29 Apr 2026 10:18:14 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49

โดยที่

Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 553849380 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 29 Apr 2026 10:18:14 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49

ก็ต่อเมื่อ A มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ B

จงแสดงว่า R เป็นความสัมพันธ์สมมูล

เฉลย

ข้อ 13

พิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้ แล้วแสดงว่ามันเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และ/หรือ ทั่วถึงหรือไม่

$Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 546709800 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 29 Apr 2026 10:18:15 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$ โดยที่ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 539566275 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 29 Apr 2026 10:18:15 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$
$Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 553160894 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 29 Apr 2026 10:18:15 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$ โดยที่ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 555257085 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 29 Apr 2026 10:18:15 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$

เฉลย

ข้อ 14

พิจารณาฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึงต่อไปนี้ แล้วหาฟังก์ชันผันกลับของมัน

$Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 467431120 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 29 Apr 2026 10:18:16 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$ โดยที่ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 539633716 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 29 Apr 2026 10:18:16 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$
$Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 547134585 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 29 Apr 2026 10:18:16 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$ โดยที่
$f(x)={\begin{cases}2x^{3},&x\geq 0\\-x^{4},&x<0\end{cases}}$
$Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 545461980 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 29 Apr 2026 10:18:17 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$ โดยที่
$Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 555290009 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 29 Apr 2026 10:18:17 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$

เฉลย

ข้อ 15

จงแสดงว่าเซตต่อไปนี้แต่ละคู่มีสมาชิกเท่ากัน

$\mathbb {N}$ และ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 528954898 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 29 Apr 2026 10:18:18 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$
$\mathbb {N}$ และ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 562041181 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 29 Apr 2026 10:18:18 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$
$\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ และ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 537339633 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 29 Apr 2026 10:18:19 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$
$\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ และ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 538911855 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 29 Apr 2026 10:18:19 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$