418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาตรรกศาสตร์, เซต, ความสัมพันธ์, ฟังก์ชัน II

ข้อ 1

จงแสดงว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

1. ถ้า $A\,$ เป็นเซต แล้ว $\emptyset \times A=A\times \emptyset$
2. ถ้า $A\,$ = $B\,$ และทั้งคู่ไม่ใช่เซตว่าง แล้ว $A\times B=B\times A$

เฉลย

ข้อ 2

จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์บนเซตของจำนวนเต็มบวกต่อไปนี้ มีคุณสมบัติสะท้อน สมมาตร ถ่ายทอด หรือปฏิสมมาตรหรือไม่

1. $\{(x,y)\ |\ x\neq y\}$
2. $\{(x,y)\ |\ xy\geq 1\}$
3. $\{(x,y)\ |\ (x=y+1)\vee (x=y-1)\}$
4. $\{(x,y)\ |\ x\equiv y{\pmod {7}}\}$
5. $\{(x,y)\ |\ x\,$ เป็นพหุคูณของ $y\}\,$
6. $\{(x,y)\ |\ [(x<0)\wedge (y<0)]\vee [(x>0)\wedge (y>0)]\}$
7. $\{(x,y)\ |\ x=y^{2}\}$
8. $\{(x,y)\ |\ x\geq y^{2}\}$

เฉลย

ข้อ 3

จงตอบคำถามต่อไปนี้

1. ถ้า R เป็นความสัมพันธ์บนเซตของคนในโลก ซึ่งมีสมาชิกเป็นคู่ลำดับ (a,b) โดยที่ a เป็นบิดาหรือมารดาของ b และให้ S เป็นความสัมพันธ์ที่มีสมาชิกเป็นคู่ลำดับ (a,b) เมื่อ a และ b เป็นพี่น้องกัน แล้ว $R\circ S$ และ $S\circ R$ มีความหมายว่าอะไร?
2. ถ้า R เป็นความสัมพันธ์บนเซต {1, 2, 3, 4, 5} โดย R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 4)} จงหาค่า $R^{2}$, $R^{3}$, $R^{4}$, และ $R^{5}$

เฉลย

ข้อ 4

ถ้า R เป็นความสัมพันธ์ที่แทนด้วยเมตริกซ์

$\mathbf {M} _{R}={\begin{bmatrix}0&1&1\\1&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}}$

จงหาเมตริกซ์ที่แทนความสัมพันธ์ $R^{-1}\,$, ${\overline {R}}\,$, $R^{2}\,$, $R^{3}\,$, และ $R^{4}\,$

เฉลย

ข้อ 5

จงเขียนกราฟแบบมีทิศทางที่แทนความสัมพันธ์ต่อไปนี้ {(a, a), (a, b), (b, c), (c, b), (c, d), (d, a), (d, b)}

เฉลย

ข้อ 6

ความสัมพันธ์บนเซตของผู้คนใดต่อไปนี้เป็นความสัมพันธ์สมมูลบ้าง? ถ้าความสัมพันธ์ไหนไม่เป็น จงบอกว่ามันขาดคุณสมบัติข้อใด ถ้าความสัมพันธ์ไหนเป็น จงบอกว่า equivalence class ของมันคือเซตอะไร

1. { (a, b) | a และ b มีอายุเท่ากัน }
2. { (a, b) | a และ b เป็นลูกทางชีวภาพ (biological children) ของผู้ชายคนเดียวกัน }
3. { (a, b) | พ่อของ a เป็นพ่อของ b ด้วย }
4. { (a, b) | a เคยพบ b }
5. { (a, b) | a และ b พูดภาษาเดียวกัน }

เฉลย

ข้อ 7

กำหนดเซต $A=\{(a,b)\ |\ (a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \wedge b\neq 0\}$ และกำหนดความสัมพันธ์ R บน A โดยที่

$(a,b)\ R\ (c,d)\,$ ก็ต่อเมื่อ $ad=bc\,$

จงแสดงว่า R เป็นความสัมพันธ์สมมูล และอธิบายว่า equivalence class ของ R คืออะไรให้ง่ายที่สุดเท่าที่จะง่ายได้

เฉลย

ข้อ 8

[Rosen 6.5.30] ถ้า $R_{1}$ และ $R_{2}$ เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเซต A แล้ว

1. $R_{1}\cup R_{2}$ เป็นความสัมพันธ์สมมูลหรือไม่
2. $R_{1}\cap R_{2}$ เป็นความสัมพันธ์สมมูลหรือไม่
3. $R_{1}\oplus R_{2}$ เป็นความสัมพันธ์สมมูลหรือไม่

เฉลย

ข้อ 9

[Rosen 1.6.10] จงหาตัวอย่างของฟังก์ชันจาก $\mathbb {Z}$ ไปยัง $\mathbb {Z}$ ที่

1. เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแต่ไม่ทั่วถึง
2. เป็นฟังก์ชันทั่วถึงแต่ไม่หนึ่งต่อหนึ่ง
3. เป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง (แต่ไม่ใช้ฟังก์ชันเอกลักษณ์)
4. ไม่เป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง

เฉลย

ข้อ 10

[Rosen 1.6.15, 1.6.16] ถ้า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปยัง B และ g เป็นฟังก์ชันจาก B ไปยัง C แล้ว

1. จงแสดงว่าถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แล้ว $f\circ g$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
2. จงแสดงว่าถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันทั่วถึง แล้ว $f\circ g$ เป็นฟังก์ชันทั่วถึง
3. ถ้า f และ $f\circ g$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแล้ว g เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วยหรือไม่?

เฉลย

ข้อ 11

[Rosen 1.6.38] สมมติว่า f เป็นฟังก์ชันผันกลับได้จาก A ไปยัง B และ g เป็นฟังก์ชันผันกลับได้จาก B ไปยัง C แล้ว จงแสดงว่า $(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$

เฉลย

ข้อ 12

กำหนด ${\mathcal {S}}$ เป็นเซตของเซตทั้งหมด และกำหนดความสัมพันธ์ R บน ${\mathcal {S}}$ โดยที่

$A\ R\ B$ ก็ต่อเมื่อ A มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ B

จงแสดงว่า R เป็นความสัมพันธ์สมมูล

เฉลย

ข้อ 13

พิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้ แล้วแสดงว่ามันเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และ/หรือ ทั่วถึงหรือไม่

1. $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ โดยที่ $f(x)=x+1\,$
2. $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ โดยที่ $f(x)=x^{2}+3x+2\,$

เฉลย

ข้อ 14

พิจารณาฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึงต่อไปนี้ แล้วหาฟังก์ชันผันกลับของมัน

1. $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ โดยที่ $f(x)=7x+5\,$
2. $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ โดยที่

   $f(x)={\begin{cases}2x^{3},&x\geq 0\\-x^{4},&x<0\end{cases}}$

3. $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ โดยที่

   $f(x)={\begin{cases}0,&x=0\\1/x,&x\neq 0\end{cases}}$

เฉลย

ข้อ 15

จงแสดงว่าเซตต่อไปนี้แต่ละคู่มีสมาชิกเท่ากัน

1. $\mathbb {N}$ และ $A=\{x\ |\ x=10k+5,k\in \mathbb {N} \}$
2. $\mathbb {N}$ และ $B=\{x\ |\ x=k^{2},k\in \mathbb {Z} ,k\neq 0\}$
3. $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ และ $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$
4. $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ และ $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \mathbb {N}$

เฉลย