418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น I/เฉลยข้อ 1

ข้อย่อย 1

เนื่องจากเหรียญที่โยนเป็นเหรียญไม่ถ่วงน้ำหนัก ฉะนั้นผลลัพธ์ของการโยนเหรียญทั้งหมด $2^{n}\,$ แบบจึีงมีความน่าจะเป็นเท่ากันคือ $1/2^{n}\,$

ถ้าจำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อยในการโยนเหรียญทั้งหมด 10 ครั้ง หมายความว่าเราโยนได้หัว 5 ครั้ง และโยนได้ก้อย 5 ครั้ง

ผลลัพธ์ที่มีเหรียญออกหัว 5 ครั้งและออกก้อย 5 ครั้งมีทั้งหมด ${10 \choose 5}\,$ ผลลัพธ์ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ได้จำนวนหัวจะเท่ากับจำนวนก้อยคือ ${\frac {1}{2^{n}}}{10 \choose 5}\,$

ข้อย่อย 2

ให้ $A\,$ เป็นเซตของผลลัพธ์การโยนเหรียญทั้งหมด

$B\,$ เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนหัวมากกว่าจำนวนก้อย

$C\,$ เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนก้อยมากกว่าจำนวนหัว

$D\,$ เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อย แล้วได้จำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อย

เนื่องจาก $A=B\cup C\cup D\,$ และ $B,C,D\,$ ไม่มีส่วนร่วมกันเป็นคู่ๆ เราได้ว่า $1=\Pr(A)=\Pr(B)+\Pr(C)+\Pr(D)$

จากข้อ 1 เราทราบว่า $\Pr(D)={\frac {1}{2^{10}}}{10 \choose 5}$

พิจารณาเซต $B\,$ และ $C\,$ เราจะแสดงว่า $|B|=|C|\,$

นิยามฟังก์ชัน $f:B\rightarrow C\,$ ดังต่อไปนี้ $f\,$ เปลี่ยนหัวเป็นก้อยและเปลี่ยนก้อยเป็นหัว (เช่น $f(HHTTHHTHTH)=TTHHTTHTHT\,$) เห็นได้อย่างชัดเจนว่า $f\,$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง ฉะนั้น $|B|=|C|\,$

เนื่องจากสมาชิกทุกตัวในแซมเปิลสเปซของโจทย์ข้อนี้มีความน่าจะเป็นเท่ากัน (ดูข้อ 1) เราได้ว่า $\Pr(B)=\Pr(C)$

ฉะนั้น เราได้ว่า $1=\Pr(B)+\Pr(C)+\Pr(D)=2\Pr(B)+\Pr(D)\,$ ฉะนั้น $\Pr(B)={\frac {1-\Pr(D)}{2}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2^{11}}}{10 \choose 5}$

ข้อย่อย 3

ผลลัพธ์ที่การโยนเหรียญครั้งที่ i และการโยนเหรียญครั้งที่ 11-i มีหน้าที่ออกเหมือนกัน สำหรับ 1=1,2,3,4,5 ก็คือ ครั้งที่ 1 และครั้งที่ 10 เหมือนกัน, ครั้งที่ 2 และครั้งที่ 9 เหมือนกัน, ครั้งที่ 3 และครั้งที่ 8 เหมือนกัน, ครั้งที่ 4 และครั้งที่ 7 เหมือนกัน, ครั้งที่ 5 และครั้งที่ 6 เหมือนกัน ยกตัวอย่างเช่น HTTHTTHTTH หรือ TTHHTTHHTT (พูดแบบไม่เป็นทางการคือ อ่านจากหน้าไปหลังหรือหลังไปหน้าก็เหมือนกัน)

ผลลัพธ์ลักษณะข้างบนมีอยู่ $2^{5}\,$ แบบ เนื่องจากเมื่อเรากำหนดผลลัพธ์ของการโยนเหรียญครั้งที่ 1, 2, ..., 5 แล้ว เราก็ทราบผลลัพธ์ของการโยนเหรียญที่เหลืออีก 5 ครั้งโดยปริยาย

ฉะนั้นความน่าจะเป็นที่จะโยนเหรียญได้ผลลัพธ์ทีมีเงื่อนไขตามโจทย์ คือ ${\frac {2^{5}}{2^{10}}}={\frac {1}{2^{5}}}$

ข้อย่อย 4

ให้ $P_{n}\,$ เป็นเซตของผลลัพธ์การโยนเหรียญทั้งหมด $n\,$ ครั้ง ที่ไม่มีหัวติดกันตั้งแต่ 4 ครั้งขึ้นไป

เราได้ว่า $|P_{1}|=2\,$, $|P_{2}|=4\,$, $|P_{3}|=8\,$, และ $|P_{4}|=15\,$. (สังเกตว่าถ้าเราโยนเหรียญน้อยกว่า 4 คร้้ง ผลลัพธ์ของการโยนเหรีญทั้งหมดจะไม่มีหัวติดกันตั้งแต่ 4 ครั้งขึ้นไป)

พิจารณาเซต $P_{n}\,$ ให้ $a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}\in P_{n}$ โดยที่ $a_{i}\in \{H,T\}$ (H = head = หัว, T = tail = ก้อย) เราได้ว่าเราสามารถแบ่ง $a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ ออกได้เป็นสี่กรณี คือ:

• $a_{1}=T\,$ เราได้ว่า $a_{2}a_{3}\cdots a_{n}$ เป็นผลลัพธ์การโยนเหรียญจำนวน $n-1\,$ ครั้งที่ไม่มีหัวติดกินตั้งแต่ 4 ครั้งขึ้นไป ถ้าให้ $A_{1}\,$ เป็นเซตของผลลัพธ์ในกรณีนี้ เราได้ว่า $|A_{1}|=|P_{n-1}|\,$
• $a_{1}=H,a_{2}=T\,$ เราได้ว่า $a_{3}a_{4}\cdots a_{n}$ เป็นผลลัพธ์การโยนเหรียญจำนวน $n-2\,$ ครั้งที่ไม่มีหัวติดกินตั้งแต่ 4 ครั้งขึ้นไป ถ้าให้ $A_{2}\,$ เป็นเซตของผลลัพธ์ในกรณีนี้ เราได้ว่า $|A_{2}|=|P_{n-2}|\,$
• $a_{1}=H,a_{2}=H,a_{3}=T\,$ เราได้ว่า $a_{4}a_{5}\cdots a_{n}$ เป็นผลลัพธ์การโยนเหรียญจำนวน $n-3\,$ ครั้งที่ไม่มีหัวติดกินตั้งแต่ 4 ครั้งขึ้นไป ถ้าให้ $A_{3}\,$ เป็นเซตของผลลัพธ์ในกรณีนี้ เราได้ว่า $|A_{3}|=|P_{n-3}|\,$
• $a_{1}=H,a_{2}=H,a_{3}=H,a_{4}=T\,$ เราได้ว่า $a_{5}a_{6}\cdots a_{n}$ เป็นผลลัพธ์การโยนเหรียญจำนวน $n-4\,$ ครั้งที่ไม่มีหัวติดกินตั้งแต่ 4 ครั้งขึ้นไป ถ้าให้ $A_{4}\,$ เป็นเซตของผลลัพธ์ในกรณีนี้ เราได้ว่า $|A_{4}|=|P_{n-4}|\,$

เนื่องจาก $P_{n}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}$ และ $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\,$ ไม่มีส่วนร่วมกันเป็นคู่ๆ เราได้ว่า $|P_{n}|=|A_{1}|+|A_{2}|+|A_{3}|+|A_{4}|=|P_{n-1}|+|P_{n-2}|+|P_{n-3}|+|P_{n-4}|\,$

ฉะนั้นเราจะได้ว่า $|P_{5}|=29,|P_{6}|=56,|P_{7}|=108,|P_{8}|=208,|P_{9}|=401,|P_{10}|=773\,$

ฉะนั้นความน่าจะเป็นที่เราจะโยนเหรียญได้หัวติดกันอย่างน้อย 4 ครั้งจึงมีค่าเท่ากับ ${\frac {2^{10}-773}{2^{10}}}={\frac {251}{1024}}\,$