ดูต้นฉบับสำหรับ Sgt/lecture2

สำหรับเนื้อหาในสัปดาห์นี้ เราเรียนรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของ eigen vector, eigen value ลำดับที่ 2

นิยาม [http://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_quotient Rayleigh quotient] สำหรับ vector ''x'' และ symmetric matrix ''M'' เขียนแทนด้วย  <math>R(M, x)</math> คือ <math>\frac{x^TMx}{x^Tx}</math>
โดยสังเกตว่าถ้า ''x'' เป็น eigen vector ของ ''M'' ค่า Rayleigh quotient จะมีค่าเป็น eigen value ที่สอดคล้องกับ ''x''
เนื่องจาก<math>R(M,x) = \frac{x^T(Mx)}{x^Tx} = \frac{x^T(\lambda x)}{x^Tx} = \frac{\lambda(x^Tx)}{x^Tx} = \lambda</math>

และเราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทว่า "ให้ <math>M</math> เป็น symmetric matrix ถ้า <math>x</math> เป็น non-zero vector ที่ทำให้ <math>R(M,x)</math> มีค่ามากที่สุด แล้ว <math>x</math> จะเป็น eigen vector ของ <math>M</math> ที่สอดคล้องกับ eigen value ที่มากที่สุด"

เราจะพิสูจน์โดยการใช้ [http://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theory Spectral theory] ([[sgt/lecture1|เนื้อหาครั้งที่ 1]])
ให้ ''M'' มี dimension ขนาด ''n'' (symmetric) ได้ว่า ''M'' มี eigen value 
<math>\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \ldots \leq \lambda_n</math>
และ eigen vector <math>\phi_i</math> ที่สอดคล้องกับ <math>\lambda_i</math>
เพื่อความสะดวก เราให้ว่า ||''x''|| = 1 และ ||<math>\phi_i</math>|| = 1 สำหรับทุก ''i''
และเราสามารถเขียน ''x'' ในรูป <math>x = \sum\limits_{i=1}^n (\phi_i^T \cdot x)\phi_i</math>