Sgt/lecture2

บันทึกคำบรรยายวิชา Spectral graph theory นี้ เป็นบันทึกที่นิสิตเขียนขึ้น เนื้อหาโดยมากยังไม่ผ่านการตรวจสอบอย่างละเอียด การนำไปใช้ควรระมัดระวัง

สำหรับเนื้อหาในสัปดาห์นี้ เราเรียนรู้เกี่ยวกับ Rayleigh quotient และคุณสมบัติของ eigenvector, eigenvalue ลำดับที่ 2

Rayleigh quotient

นิยาม Rayleigh quotient สำหรับ vector x และ symmetric matrix M คือ โดยสังเกตว่าถ้า x เป็น eigenvector ของ M ที่สอดคล้องกับ eigenvalue $\lambda$ จะได้ว่า เนื่องจาก

${\begin{aligned}R(M,x)&={\frac {x^{T}(Mx)}{x^{T}x}}\\&={\frac {x^{T}(\lambda x)}{x^{T}x}}\\&={\frac {\lambda (x^{T}x)}{x^{T}x}}=\lambda \end{aligned}}$

และเราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทว่า

"ให้ $M$ เป็น symmetric matrix ถ้า $x$ เป็น non-zero vector ที่ทำให้ $R(M,x)$ มีค่ามากที่สุด แล้ว $x$ จะเป็น eigenvector ของ $M$ ที่สอดคล้องกับ eigenvalue ที่มากที่สุด"

---

เราจะพิสูจน์โดยการใช้ Spectral theory (เนื้อหาครั้งที่ 1) ให้ M มี dimension ขนาด n (symmetric) ได้ว่า M มี eigenvalue $\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \ldots \leq \lambda _{n}$ และ eigenvector $\phi _{i}$ ที่สอดคล้องกับ $\lambda _{i}$ เพื่อความสะดวก เราให้ว่า ||x|| = 1 และ ||$\phi _{i}$|| = 1 สำหรับทุก i และเราสามารถเขียน x ในรูป $x=\sum \limits _{i=1}^{n}(\phi _{i}^{T}\cdot x)\phi _{i}$ จากนั้นจึงคำนวณหาค่า Rayleigh quotient

${\begin{aligned}R(M,x)&={\frac {x^{T}Mx}{x^{T}x}}\\&=(\sum \limits _{i=1}^{n}(\phi _{i}^{T}\cdot x)\phi _{i})^{T}M(\sum \limits _{i=1}^{n}(\phi _{i}^{T}\cdot x)\phi _{i})\\&=(\sum \limits _{i=1}^{n}(\phi _{i}^{T}\cdot x)\phi _{i})^{T}(\sum \limits _{i=1}^{n}(\phi _{i}^{T}\cdot x)\lambda _{i}\phi _{i})\\&=\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}(\phi _{i}^{T}\cdot x)(\phi _{j}^{T}\cdot x)(\phi _{i}^{T}\phi _{j})\lambda _{j}\qquad &&;\ i\neq j\Rightarrow (\phi _{i}^{T}\phi _{j})=0\\&=\sum \limits _{i=1}^{n}(\phi _{i}^{T}\cdot x)^{2}(\phi _{i}^{T}\phi _{i})\lambda _{i}\qquad &&;\ (\phi _{i}^{T}\phi _{i})=1\\&=\sum \limits _{i=1}^{n}(\phi _{i}^{T}\cdot x)^{2}\lambda _{i}&&(*)\\&\leq \lambda _{n}\sum \limits _{i=1}^{n}(\phi _{i}^{T}\cdot x)^{2}\\&\leq \lambda _{n}\end{aligned}}$

จะเห็นได้ว่า Rayleigh quotient มีค่ามากที่สุดเป็น eigenvalue ที่ใหญ่ที่สุด และ vector x ที่ทำให้มีค่าดังกล่าวได้แก่ eigenvalue ของ M (พิจารณาที่ $(*)$ )

---

คุณสมบัติของ Eigenvalue กับกราฟ

ให้กราฟ $G$ ขนาด $n$ โหนดและ $A_{G}$ เป็น adjacency matrix ของ $G$ ถ้าสำหรับโหนดที่ $i$ ใดๆ เขียนแทนดีกรีด้วย $\deg(v_{i})$ นิยาม diagonal matrix ($D_{G}$) ดังนี้

$D_{G}={\begin{bmatrix}\deg(v_{1})&0&\cdots &0\\0&\deg(v_{2})&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\deg(v_{n})\end{bmatrix}}$

และนิยาม Laplacian matrix ($L_{G}$) ว่า

${\begin{aligned}L_{G}=D_{G}-A_{G}\end{aligned}}$

ต่อไปนี้จะสนใจ eigenvalue จาก Laplacian matrix ของกราฟ

Eigenvalue ตัวแรกของกราฟใดๆ

"สำหรับกราฟ $G$ ใดๆ Laplacian matrix ($L_{G}$) จะมี eigenvalue (น้อยไปมาก) ลำดับที่หนึ่งเป็นศูนย์เสมอ"

---

สมมติให้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 839694519
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 03 Jul 2026 16:25:29 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$G^{\star }$ เป็นกราฟที่มีมีเส้นเชื่อมเพียงหนึ่งเส้น $(v_{i},v_{j})$ เราจะได้

$L_{G^{\star }}={\begin{bmatrix}&\vdots &&\vdots &\\\cdots &1&\cdots &-1&\cdots \\&\vdots &&\vdots &\\\cdots &-1&\cdots &1&\cdots \\&\vdots &&\vdots &\end{bmatrix}}$

สำหรับ vector

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 908625943
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 03 Jul 2026 16:25:54 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$x=[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}]^{T}$ ใดๆ คำนวณค่า ได้ดังนี้

ต่อมา พิจรณากราฟ ใดๆ ที่มีจำนวนเส้นเชื่อม เส้น โดยเราสามารถเขียน ได้ในรูป

โดยที่ สำหรับ แทน Laplacian matrix ของกราฟ ซึ่งเป็นกราฟย่อยจาก ที่มีเส้นเชื่อมเส้นที่ เพียงเส้นเดียว ดังนั้น

${\begin{aligned}R(L_{G},x)&=R(L_{G_{1}},x)+R(L_{G_{2}},x)+\cdots +R(L_{G_{m}},x)\\&={\frac {\sum \nolimits _{(i,j)\in E(G)}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}{x^{T}x}}\end{aligned}}$

ให้ สำหรับทุกค่า จะได้ว่า

จากสมการ $(*)$ ในหัวข้อ Rayleigh quotient จะได้ว่า Rayleigh quotient มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ โดยมี เป็น eigenvector ที่สอดคล้องกับ eigenvalue ดังกล่าว

ดังนั้น สำหรับ Laplacian matrix ของกราฟ G ใดๆ

---

Eigenvalue ของกราฟต่อเนื่อง

"สำหรับกราฟ ใดๆ Laplacian matrix จะมี eigenvalue ลำดับที่สองไม่เท่ากับศูนย์ ก็ต่อเมื่อ G เป็นกราฟต่อเนื่อง"

---

สมมติให้ เป็นกราฟต่อเนื่อง และมี eigenvalue ลำดับที่สองเท่ากับศูนย์ ()

ให้ เป็น eigenvector ที่สอดคล้องกับ eigenvalue ดังกล่าว

และทฤษฎีบทก่อนหน้า จะได้ว่ามี และ

จาก Spectral Theory เนื่องจาก ดังนั้น

${\begin{aligned}0&=\phi _{2}\phi _{1}^{T}\\&=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}a_{i}\end{aligned}}$

เนื่องจากกราฟต่อเนื่อง ให้ $\phi _{1}=[1,1,\cdots ,1]^{T}$ ทำให้

$0=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}$

จะเห็นว่า $a_{i}\neq 0$ สำหรับทุก $i$ และมี $a_{i}\neq a_{j}$ สำหรับบาง $i\neq j$ ส่งผลให้ $\sum \nolimits _{(i,j)\in E(G)}(a_{i}-a_{j})^{2}\neq 0$

ซึ่งหมายความว่า $\lambda _{2}\neq 0$ และขัดแย้งกับสมมติฐานตั้งต้นว่า $\lambda _{2}=0$ ดังนั้นถ้ากราฟ G เป็นกราฟต่อเนื่อง แล้ว $\lambda _{2}\neq 0$

$(\rightarrow )$ สมมติให้ $G$ เป็นกราฟไม่ต่อเนื่อง และมี eigenvalue ลำดับที่สองไม่เท่ากับศูนย์ ($\lambda _{2}\neq 0$)

ให้ $\phi _{2}=[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]^{T}$ เป็น eigenvector ที่สอดคล้องกับ eigenvalue ดังกล่าว

และทฤษฎีบทก่อนหน้า จะได้ว่ามี $\lambda _{1}=0$ และ $\phi _{1}=[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}]^{T}$

จาก Spectral Theory เนื่องจาก $\phi _{2}\perp \phi _{1}$ ดังนั้น

${\begin{aligned}0&=\phi _{2}\phi _{1}^{T}\\&=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}a_{i}\end{aligned}}$

เนื่องจากกราฟไม่ต่อเนื่อง ให้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 796653301
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 03 Jul 2026 16:26:25 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$\phi _{1}=[1,\cdots ,1,0,\cdots ,0]^{T}$ ทำให้

เมื่อให้โหนดที่ ถึง เป็นส่วนเดียวกัน และตัดขาดจากโหนดที่ ถึง $n$

ให้ และได้ว่า

ซึ่งหมายความว่า $\lambda _{2}=0$ และขัดแย้งกับสมมติฐานตั้งต้นว่า ดังนั้นถ้ากราฟ G เป็นกราฟไม่ต่อเนื่อง แล้ว

---

Eigenvalue ของกราฟที่มี ส่วน

ให้กราฟที่มีจำนวน component ค่า eigenvalue ของ Laplacian matrix ลำดับที่หนึ่งจนถึงลำดับที่ $n$ จะมีค่าเป็น 0

---

ให้กราฟมี $n$ ส่วน ให้ eigenvalue จำนวน ตัวแรกมีค่าเป็น และมี eigenvector ที่สอดคล้องกันคือ

$\phi _{i}={\begin{cases}1&{\text{if node is in component }}i{\text{th}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

จะเห็นว่า

---

Eigenvalue ของกราฟบริบูรณ์

ให้กราฟริบูรณ์ (complete graph) จำนวน $n$ โหนด (

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 876688734
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 03 Jul 2026 16:26:37 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$K_{n}$) ค่า eigenvalue ของ Laplacian matrix ลำดับที่สองจนถึงลำดับสุดท้าย จะมีค่าเป็น $n$

---

พิสูจน์โดยให้

$L_{K_{n}}={\begin{bmatrix}n-1&-1&\cdots &-1\\-1&n-1&\cdots &-1\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-1&-1&\cdots &n-1\end{bmatrix}}$

เลือก $\lambda _{i}=n$ ที่ และเลือก $\phi _{i}$ ที่สอดคล้องกันดังนี้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 816232692
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 03 Jul 2026 16:26:42 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$\phi _{i}={\begin{bmatrix}-1\\0\\\vdots \\0\\1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}={\begin{cases}-1&{\text{if }}1{\text{st row}}\\1&{\text{if }}n{\text{th row}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

จะเห็นว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 870855501
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 03 Jul 2026 16:26:43 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$L_{K_{n}}\phi _{i}={\begin{bmatrix}(n-1)(-1)+(-1)(1)\\(-1)(-1)+(-1)(1)\\\vdots \\(-1)(-1)+(-1)(1)\\(-1)(-1)+(n-1)(1)\\(-1)(-1)+(-1)(1)\\\vdots \\(-1)(-1)+(-1)(1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-n\\0\\\vdots \\0\\n\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}=n\phi _{i}=\lambda _{i}\phi _{i}$

ดังนั้น eigenvalue ลำดับที่สองเป็นต้นไปของกราฟบริบูรณ์จำนวน $n$ โหนดมีค่าเป็น $n$

หมายเหตุ eigenvector ที่นำมาประกอบการพิสูจน์ ไม่จำเป็นต้องตั้งฉากกัน เพียงแค่แสดงให้เห็นว่ามี eigenvector ที่สอดคล้องกับ eigenvalue ได้ก็พอ

---