Spectral Graph Theory
บทนำและทบทวนพีชคณิตเชิงเส้น (ณัฐวุฒิ) เนื้อหา: Eigenvector, Eigenvalue คุณสมบัติของ Eigenvalue ต่อกราฟ (ธานี,ณัฐวุฒิ) เนื้อหา: ผลหาร Rayleigh, คุณสมบัติของเมตริกซ์ Laplacian ทดลอง: วาดกราฟจาก Eigenvector คุณสมบัติของ Eigenvalue ต่อกราฟ[2] (ภัทร) เนื้อหา: Eigen value properties คุณสมบัติของ Eigenvalue ลำดับที่สองบนกราฟต่างๆ (ธานี) เนื้อหา: Second eigen value Cheeger Inequality (ศุภชวาล) เนื้อหา: Cheeger Inequality การทดลอง Cheeger Inequality และ Effective Resistance (ธานี) เนื้อหา: Effective Resistance ทดลอง: หา cut ที่มีคุณสมบัติตรงกับ Cheeger Inequality Random Walks และ Psuedo Random Generator (ศุภชวาล) เนื้อหา: Random Walks Psuedo Random Generator[2] (ภัทร) เนื้อหา: Psuedo Random Generator Coding Theory และ Expander code (ธานี) เนื้อหา: Coding Theory Expander graph from Linear coding (ภัทร) เนื้อหา: Expander construction Chebyshev polynomial (ศุภชวาล) เนื้อหา: Chebyshev polynomial Preconditioning (ธานี) เนื้อหา: Preconditioning
แก้ไขกล่องนี้ • แก้ไขสารบัญ

บันทึกคำบรรยายวิชา Spectral graph theory นี้ เป็นบันทึกที่นิสิตเขียนขึ้น เนื้อหาโดยมากยังไม่ผ่านการตรวจสอบอย่างละเอียด การนำไปใช้ควรระมัดระวัง

เนื้อหาในสัปดาห์นี้ จะเป็นความเกี่ยงเนื่องของ eigen value ลำดับที่ 2 กับกราฟ และบทพิสูจน์

เนื้อหา

1 Intuitive of Rayleight Quotient term numerator
2 Terminology
3 Isoperimetric Inequality
4 The Adjacency Matrix

Intuitive of Rayleight Quotient term numerator

จาก

$R(M,x)={\frac {x^{T}Mx}{x^{T}x}}$

สังเกตว่า

$x^{T}Lx=\sum \limits _{(u,v)}(x(u)-x(v))^{2}$

ถ้าเรามองว่า คือการเปลี่ยนมิติ ของจุดจากกราฟมายังเส้นตรงแล้ว ราคาที่เพิ่มขึ้นจาก เส้นเชื่อมแต่ละเส้น จะเท่ากับระยะห่างของจุดปลายของเส้นเชื่อมนั้นบนเส้นตรงดังกล่าว

Terminology

สำหรับกราฟ และเซ็ตของปม เราจะนิยาม $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

\partial (S)=\{(u,v)\in E,u\in S,v\in V-S\}

เป็นขนาดของคัท และ อัตราการขยายตัวของปริมาตรผ่านทางเส้นเชื่อม

Isoperimetric Inequality

Isoperimetric ratio of vertices set

Isoperimetric ratio of graph $\theta (G)=min_{S,|S|\leq n/2}\theta (S)$

ณ จุดนี้ เราจะพิจารณาขอบล่างของ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

\theta (G)

เทียบกับ โดยจะพิจารณาขอบบน ซึ่งก็คือ Cheeger Inequality ใน lecture ครั้งถัดไป

"For every $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

S\subset V,\theta (S)\geq {\lambda }_{2}(1-s),wheres={\frac {|S|}{|V|}}

"

จาก Rayleight Quotient เรารู้ว่า ${\lambda }_{2}=min_{x\neq 0,x\perp {\mathbf {1}}}{\frac {x^{T}Lx}{x^{T}x}}$
แสดงว่า ถ้าเราหยิบ vector ใด ๆ ซึ่งไม่ใช่ 0 ที่ตั้งฉากกับ vector 1 มา เราสามารถนำมาบอกขอบเขตของ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.
Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 319062735 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 10 Jun 2026 02:47:50 GMT
Sensitive client information
IP address: 158.108.32.49

$\lambda _{2}$ ได้เสมอ
พิจารณา characteristic vector โดย $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.
Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 310612556 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 10 Jun 2026 02:48:01 GMT
Sensitive client information
IP address: 158.108.32.49

${\begin{aligned}x(u)=1&,u\in S\\x(u)=0&,otherwise\end{aligned}}$
สังเกตว่า ${\frac {x^{T}Lx}{x^{T}x}}=\theta (S)$ แต่ ไม่ตั้งฉากกับ vector $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.
Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 294401287 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 10 Jun 2026 02:47:51 GMT
Sensitive client information
IP address: 158.108.32.49

${\mathbf {1}}$
พิจารณา $x'=x-{\frac {|S|}{|V|}}{\mathbf {1}}=x-s{\mathbf {1}}$ สังเกตว่า $x'\perp {\mathbf {1}},x'\neq 0$
จากนั้นเราจะพิจารณาผลของ
โดย
และ
$Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.
Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 276458497 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Wed, 10 Jun 2026 02:47:51 GMT
Sensitive client information
IP address: 158.108.32.49

${\begin{aligned}{x'}^{T}x'&=\sum \limits _{u}(x'(u))^{2}\\&=\sum \limits _{u}(x(u)-s)^{2}\\&=\sum \limits _{u}x(u)^{2}-2x(u)s+s^{2}\\&=|S|-2s|S|+|V|s^{2}\\&=|S|-2{\frac {|S|^{2}}{|V|}}+{\frac {|S|^{2}}{|V|}}\\&=|S|-{\frac {|S|^{2}}{|V|}}\\&=|S|(1-s)\end{aligned}}$
ดังนั้น
${\begin{aligned}\lambda _{2}&\leq {\frac {{x'}^{T}Lx'}{{x'}^{T}x'}}\\\lambda _{2}(1-s)&\leq {\frac {{x'}^{T}Lx'}{|S|}}\\\lambda _{2}(1-s)&\leq \theta {S}\end{aligned}}$

The Adjacency Matrix

กำหนดให้ A เป็น adjacency matrix ของกราฟ $G=(V,E)$ โดยถ้าเรานำ vector x ไปคูณ ผลลัพธ์ที่ได้คือ

พิจารณา regular graph G ที่มี degree d เราสามารถหาความสัมพันธ์ระหว่าง laplacian matrix กับ adjacency matrix ได้โดย

$L=D-A=Id-A$

ถ้า และ $\varphi$ เป็น eigen value และ eigen vector ที่สอดคล้องกันใน L แล้ว

$Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

{\begin{aligned}L\varphi &=(Id-A)\varphi =\lambda \varphi \\A\varphi &=(Id-L)\varphi =(d-\lambda )\varphi \\\end{aligned}}

ได้ว่า $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

\mu =(d-\lambda )

และ เป็น eigen value และ eigen vector ที่สอดคล้องกันใน A

สังเกตว่าถ้ากราฟเป็น regular แล้ว eigen vector ของ L กับ A จะเป็นชุดเดียวกัน แต่มี eigen value ต่างกัน

กำหนดให้ เป็น eigen value ของ A

เมื่อกราฟ G เป็น regular ได้ว่า $\mu _{1}=d$

Sgt/lecture3

เนื้อหา

Intuitive of Rayleight Quotient term numerator

Terminology

Error

Isoperimetric Inequality

Error

Error

Error

Error

Error

Error

The Adjacency Matrix

Error

Error

รายการเลือกการนำทาง

เครื่องมือส่วนตัว

เนมสเปซ

สิ่งที่แตกต่าง

ดู

เพิ่มเติม

ค้นหา

การนำทาง

เครื่องมือ