418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น I/เฉลยข้อ 1

ข้อย่อย 1

จำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อยในการโยนเหรียญทั้งหมด 10 ครั้ง คือโยนได้หัว 5 ครั้ง และโยนได้ก้อย 5 ครั้งนั่นเอง

ให้ $A_{k}$ เป็นเหตุการณ์ที่โยนเหรียญแล้วได้หัว k ครั้ง

จาก Binomial theorem จะได้

$Pr(A_{5})={10 \choose 5}(0.5)^{5}(0.5^{5})={10 \choose 5}(0.5)^{10}$

ข้อย่อย 2

ให้ A เป็นเหตุการณ์การโยนเหรียญทั้งหมด 10 ครั้ง

B เป็นเหตุการณ์การโยนเหรียญทั้งหมด 10 ครั้ง แล้วได้จำนวนหัวมากกว่าจำนวนก้อย

C เป็นเหตุการณ์การโยนเหรียญทั้งหมด 10 ครั้ง แล้วได้จำนวนก้อยมากกว่าจำนวนหัว

D เป็นเหตุการณ์การโยนเหรียญทั้งหมด 10 ครั้ง แล้วได้จำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อย

จากข้างต้นเราจะได้กว่า

$Pr(A)=Pr(B)+Pr(C)+Pr(D)$

$1=Pr(B)+Pr(C)+{10 \choose 5}(0.5)^{10}$

ข้อย่อย 3

เหตุการณ์ที่การโยนเหรียญครั้งที่ i และการโยนเหรียญครั้งที่ 11-i มีหน้าที่ออกเหมือนกัน สำหรับ 1=1,2,3,4,5 ก็คือ ครั้งที่ 1 และครั้งที่ 10 เหมือนกัน, ครั้งที่ 2 และครั้งที่ 9 เหมือนกัน

, ครั้งที่ 3 และครั้งที่ 8 เหมือนกัน, ครั้งที่ 4 และครั้งที่ 7 เหมือนกัน, ครั้งที่ 5 และครั้งที่ 6 เหมือนกัน

จะมีลักษณะเช่น

HTTHTTHTTH, TTHHTTHHTT ซึ่งมีลักษณะที่เรียกว่า palindrome นั่นเอง (พูดแบบไม่เป็นทางการคือ คำที่มีสมมาตรซ้ายขวา อ่านจากหน้าไปหลัง หรือหลังไปหน้าก็จะเหมือนกัน)

ดังนั้นความน่าจะเป็นของการโยนเหรียญที่ครั้งที่ i และการโยนเหรียญครั้งที่ 11-i มีหน้าที่ออกเหมือนกัน สำหรับ 1=1,2,3,4,5 ก็คือ ${\frac {2^{5}}{2^{10}}}$