ผลต่างระหว่างรุ่นของ "418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 2"
ไปยังการนำทาง
ไปยังการค้นหา
Aoy (คุย | มีส่วนร่วม) |
|||
| (ไม่แสดง 8 รุ่นระหว่างกลางโดยผู้ใช้ 1 คน) | |||
| แถว 1: | แถว 1: | ||
== ข้อย่อย 1 == | == ข้อย่อย 1 == | ||
| − | จาก <math>E[X|X_1 is even]=E[X_1|X_1 is even]+ E[X_2|X_1 | + | จาก <math>E[X|X_1 </math> is even]<math> =E[X_1|X_1 </math> is even]<math>+ E[X_2|X_1 </math>is even]จาก linearity of expectations |
| − | <math>Pr(X_1 is even)= Pr(X_1=2)+ Pr(X_1=4)+Pr(X_1=6)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}</math> | + | <math>Pr(X_1 </math> is even)<math> = Pr(X_1=2)+ Pr(X_1=4)+Pr(X_1=6)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}</math> |
จากโจทย์ <math>X_1, X_2</math> เป็นอิสระจากกัน | จากโจทย์ <math>X_1, X_2</math> เป็นอิสระจากกัน | ||
| แถว 8: | แถว 8: | ||
หาค่า | หาค่า | ||
| − | <math>E[X_1|X_1 is even]=2 \times \frac{1}{3}+4 \times \frac{1}{3}+6 \times \frac{1}{3}=4</math> | + | <math>E[X_1|X_1 </math> is even] <math> =2 \times \frac{1}{3}+4 \times \frac{1}{3}+6 \times \frac{1}{3}=4</math> |
| − | <math>E[X_2|X_1 is even]=3.5</math> | + | <math>E[X_2|X_1 </math> is even] <math>=3.5</math> |
| − | ดังนั้น <math>E[X|X_1 is even]=E[X_1|X_1 is even]+ E[X_2|X_1 is even]=4+3.5=7.5 | + | ดังนั้น <math>E[X|X_1 </math> is even] <math> =E[X_1|X_1 </math> is even] <math> + E[X_2|X_1 </math> is even]=4+3.5=7.5 |
== ข้อย่อย 2 == | == ข้อย่อย 2 == | ||
| + | จาก <math>E[X|X_1 = X_2] = E[X_1|X_1=X_2] + E[X_2|X_1=X_2]</math> | ||
| + | |||
| + | <math>Pr(X_1=X_2)=Pr(X_1=X_2=1)+Pr(X_1=X_2=2)+Pr(X_1=X_2=3)+Pr(X_1=X_2=4)+Pr(X_1=X_2=5)+Pr(X_1=X_2=6)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>E[X_1|X_1 = X_2] = 1 \times \frac{1}{6}+2 \times \frac{1}{6}+3 \times \frac{1}{6}+4 \times \frac{1}{6}+5 \times \frac{1}{6}+6 \times \frac{1}{6}=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5</math> | ||
| + | |||
| + | <math>E[X_2|X_1 = X_2] = 1 \times \frac{1}{6}+2 \times \frac{1}{6}+3 \times \frac{1}{6}+4 \times \frac{1}{6}+5 \times \frac{1}{6}+6 \times \frac{1}{6}=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5</math> | ||
| + | |||
| + | ดังนั้น <math>E[X|X_1 = X_2] = E[X_1|X_1=X_2] + E[X_2|X_1=X_2]=3.5+3.5=7</math> | ||
== ข้อย่อย 3 == | == ข้อย่อย 3 == | ||
| + | <math>Pr(X=9)=Pr(X_1+X_2=9)=Pr(X_1=3,X_2=6)+Pr(X_1=4,X_2=5)+Pr(X_1=5,X_2=4)+Pr(X_1=6,X_2=3)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>E[X_1|X=9]=3 \times \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{9}}+4 \times \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{9}}+5 \times \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{9}}+6 \times \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{9}}=4.5</math> | ||
== ข้อย่อย 4 == | == ข้อย่อย 4 == | ||
| + | พิจารณาค่าของ <math>X_1,X_2</math> ที่เป็นไปได้ที่ทำให้ <math>X=X_1+X_2=k; 2 \leq k \leq 12</math> | ||
| + | |||
| + | จะได้ว่า สำหรับ k=2 <math>X_1=1,X_2=1</math> | ||
| + | |||
| + | สำหรับ k=3 <math>X_1=1,X_2=2</math> หรือ <math>X_1=2,X_2=1</math> | ||
| + | |||
| + | สำหรับ k=4 <math>X_1=1,X_2=3</math> หรือ <math>X_1=2,X_2=2</math> หรือ <math>X_1=3,X_2=1</math> | ||
| + | |||
| + | สำหรับ k=5 <math>X_1=1,X_2=4</math> หรือ <math>X_1=2,X_2=3</math> หรือ <math>X_1=3,X_2=2</math> หรือ <math>X_1=4,X_2=1</math> | ||
| + | |||
| + | จากคุณสมบัติ linearity of expectations จะได้ว่า <math>E[X_1-X_2|X=k]=E[X_1|X=k]-E[X_2|X=k]</math> | ||
| + | |||
| + | ซึ่ง <math>E[X_1|X=k]=E[X_2|X=k]</math> เนื่องจากกรณีทั้งสองเป็นกรณีที่สมมาตรกัน | ||
| + | |||
| + | ดังนั้น จาก <math>E[X_1-X_2|X=k]=E[X_1|X=k]-E[X_2|X=k]=E[X_1|X=k]-E[X_1|X=k]=0</math> | ||
รุ่นแก้ไขปัจจุบันเมื่อ 08:07, 4 สิงหาคม 2552
เนื้อหา
ข้อย่อย 1
จาก is even] is even]is even]จาก linearity of expectations
is even)
จากโจทย์ เป็นอิสระจากกัน
หาค่า
is even]
is even]
ดังนั้น is even] is even] is even]=4+3.5=7.5
ข้อย่อย 2
จาก
![{\displaystyle E[X_{1}|X_{1}=X_{2}]=1\times {\frac {1}{6}}+2\times {\frac {1}{6}}+3\times {\frac {1}{6}}+4\times {\frac {1}{6}}+5\times {\frac {1}{6}}+6\times {\frac {1}{6}}={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da1fc6a60d2ed6cb64f0d0c0f248751b006a4e9)
![{\displaystyle E[X_{2}|X_{1}=X_{2}]=1\times {\frac {1}{6}}+2\times {\frac {1}{6}}+3\times {\frac {1}{6}}+4\times {\frac {1}{6}}+5\times {\frac {1}{6}}+6\times {\frac {1}{6}}={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0344b288188cbe3814840258552ae2e62ff1361a)
ดังนั้น
ข้อย่อย 3
ข้อย่อย 4
พิจารณาค่าของ ที่เป็นไปได้ที่ทำให้
จะได้ว่า สำหรับ k=2
สำหรับ k=3 หรือ
สำหรับ k=4 หรือ หรือ
สำหรับ k=5 หรือ หรือ หรือ
จากคุณสมบัติ linearity of expectations จะได้ว่า
![{\displaystyle E[X_{1}-X_{2}|X=k]=E[X_{1}|X=k]-E[X_{2}|X=k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8be1eab0d9fd96d81915cfd5d34e460ccd49aa4)
ซึ่ง เนื่องจากกรณีทั้งสองเป็นกรณีที่สมมาตรกัน
![{\displaystyle E[X_{1}|X=k]=E[X_{2}|X=k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/012c7ebf5428fc23472afaf3aefdc99ab02d4d23)
ดังนั้น จาก
![{\displaystyle E[X_{1}-X_{2}|X=k]=E[X_{1}|X=k]-E[X_{2}|X=k]=E[X_{1}|X=k]-E[X_{1}|X=k]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0155be10a60912c2c7e5f884d47452078b58e081)
