ผลต่างระหว่างรุ่นของ "418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น I/เฉลยข้อ 1"

รุ่นแก้ไขเมื่อ 15:27, 2 สิงหาคม 2552

เนื้อหา

1 ข้อย่อย 1
2 ข้อย่อย 2
3 ข้อย่อย 3
4 ข้อย่อย 4

ข้อย่อย 1

เนื่องจากเหรียญที่โยนเป็นเหรียญไม่ถ่วงน้ำหนัก ฉะนั้นผลลัพธ์ของการโยนเหรียญทั้งหมด $2^{n}$ แบบจึีงมีความน่าจะเป็นเท่ากันคือ $1/2^{n}$

ถ้าจำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อยในการโยนเหรียญทั้งหมด 10 ครั้ง หมายความว่าเราโยนได้หัว 5 ครั้ง และโยนได้ก้อย 5 ครั้ง

ผลลัพธ์ที่มีเหรียญออกหัว 5 ครั้งและออกก้อย 5 ครั้งมีทั้งหมด ${10 \choose 5}\,$ ผลลัพธ์ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ได้จำนวนหัวจะเท่ากับจำนวนก้อยคือ ${\frac {1}{2^{n}}}{10 \choose 5}\,$

ข้อย่อย 2

ให้ A เป็นเซตของผลลัพธ์การโยนเหรียญทั้งหมด

B เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนหัวมากกว่าจำนวนก้อย

C เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนก้อยมากกว่าจำนวนหัว

D เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อย แล้วได้จำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อย

เนื่องจาก $A=B\cup C\cup D\,$ และ $B,C,D$ ไม่มีส่วนร่วมกันเป็นคู่ๆ เราได้ว่า $1=\Pr(A)=\Pr(B)+\Pr(C)+\Pr(D)$

จากข้อ 1 เราทราบว่า $\Pr(D)={\frac {1}{2^{10}}}{10 \choose 5}$

พิจารณาเซต $B\,$ และ $C\,$ เราจะแสดงว่า $|B|=|C|\,$

นิยามฟังก์ชัน $f:B\rightarrow C\,$ ดังต่อไปนี้ $f\,$ เปลี่ยนหัวเป็นก้อยและเปลี่ยนก้อยเป็นหัว (เช่น $f(HHTTHHTHTH)=TTHHTTHTHT\,$ ) เห็นได้อย่างชัดเจนว่า $f\,$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง ฉะนั้น $|B|=|C|\,$

เนื่องจากสมาชิกทุกตัวในแซมเปิลสเปซของโจทย์ข้อนี้มีความน่าจะเป็นเท่ากัน (ดูข้อ 1) เราได้ว่า $\Pr(B)=\Pr(C)$

ฉะนั้น เราได้ว่า $1=\Pr(B)+\Pr(C)+\Pr(D)=2\Pr(B)+\Pr(D)\,$ ฉะนั้น $\Pr(B)={\frac {1-\Pr(D)}{2}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2^{11}}}{10 \choose 5}$

ข้อย่อย 3

เหตุการณ์ที่การโยนเหรียญครั้งที่ i และการโยนเหรียญครั้งที่ 11-i มีหน้าที่ออกเหมือนกัน สำหรับ 1=1,2,3,4,5 ก็คือ ครั้งที่ 1 และครั้งที่ 10 เหมือนกัน, ครั้งที่ 2 และครั้งที่ 9 เหมือนกัน

, ครั้งที่ 3 และครั้งที่ 8 เหมือนกัน, ครั้งที่ 4 และครั้งที่ 7 เหมือนกัน, ครั้งที่ 5 และครั้งที่ 6 เหมือนกัน

จะมีลักษณะเช่น

HTTHTTHTTH, TTHHTTHHTT ซึ่งมีลักษณะที่เรียกว่า palindrome นั่นเอง (พูดแบบไม่เป็นทางการคือ คำที่มีสมมาตรซ้ายขวา อ่านจากหน้าไปหลัง หรือหลังไปหน้าก็จะเหมือนกัน)

ดังนั้นความน่าจะเป็นของการโยนเหรียญที่ครั้งที่ i และการโยนเหรียญครั้งที่ 11-i มีหน้าที่ออกเหมือนกัน สำหรับ 1=1,2,3,4,5 ก็คือ ${\frac {2^{5}}{2^{10}}}$

@@ แถว 7: / แถว 7: @@
 == ข้อย่อย 2 ==
-ให้ A เป็นเหตุการณ์การโยนเหรียญทั้งหมด 10 ครั้ง
+ให้ A เป็นเซตของผลลัพธ์การโยนเหรียญทั้งหมด
-B เป็นเหตุการณ์การโยนเหรียญทั้งหมด 10 ครั้ง แล้วได้จำนวนหัวมากกว่าจำนวนก้อย
+B เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนหัวมากกว่าจำนวนก้อย
-C เป็นเหตุการณ์การโยนเหรียญทั้งหมด 10 ครั้ง แล้วได้จำนวนก้อยมากกว่าจำนวนหัว
+C เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนก้อยมากกว่าจำนวนหัว
-D เป็นเหตุการณ์การโยนเหรียญทั้งหมด 10 ครั้ง แล้วได้จำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อย
+D เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อย แล้วได้จำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อย
-จากข้างต้นเราจะได้กว่า
+เนื่องจาก <math>A = B \cup C \cup D \,</math> และ <math>B, C, D</math> ไม่มีส่วนร่วมกันเป็นคู่ๆ เราได้ว่า <math>1 = \Pr(A) = \Pr(B) + \Pr(C) + \Pr(D)</math>
-<math>Pr(A)=Pr(B)+Pr(C)+Pr(D)</math>
+จากข้อ 1 เราทราบว่า <math>\Pr(D) = \frac{1}{2^{10}} {10 \choose 5}</math>
-<math> 1 =Pr(B)+Pr(C)+ {10 \choose 5}(0.5)^{10}</math>
+พิจารณาเซต <math>B \,</math> และ <math>C \,</math> เราจะแสดงว่า <math>|B| = |C| \,</math>
+นิยามฟังก์ชัน <math>f: B \rightarrow C \,</math> ดังต่อไปนี้ <math>f \,</math> เปลี่ยนหัวเป็นก้อยและเปลี่ยนก้อยเป็นหัว (เช่น <math>f(HHTTHHTHTH) = TTHHTTHTHT \,</math>) เห็นได้อย่างชัดเจนว่า <math>f \,</math> เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง ฉะนั้น <math>|B| = |C| \,</math>
+เนื่องจากสมาชิกทุกตัวในแซมเปิลสเปซของโจทย์ข้อนี้มีความน่าจะเป็นเท่ากัน (ดูข้อ 1) เราได้ว่า <math>\Pr(B) = \Pr(C)</math>
+ฉะนั้น เราได้ว่า <math>1 = \Pr(B) + \Pr(C) + \Pr(D) = 2\Pr(B) + \Pr(D) \,</math> ฉะนั้น <math>\Pr(B) = \frac{1 - \Pr(D)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{11}}{10 \choose 5}</math>
 == ข้อย่อย 3 ==

ผลต่างระหว่างรุ่นของ "418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น I/เฉลยข้อ 1"

รุ่นแก้ไขเมื่อ 15:27, 2 สิงหาคม 2552

เนื้อหา

ข้อย่อย 1

ข้อย่อย 2

ข้อย่อย 3

ข้อย่อย 4

รายการเลือกการนำทาง

เครื่องมือส่วนตัว

เนมสเปซ

สิ่งที่แตกต่าง

ดู

เพิ่มเติม

ค้นหา

การนำทาง

เครื่องมือ