418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น I/เฉลยข้อ 1

ข้อย่อย 1

เนื่องจากเหรียญที่โยนเป็นเหรียญไม่ถ่วงน้ำหนัก ฉะนั้นผลลัพธ์ของการโยนเหรียญทั้งหมด $2^{n}$ แบบจึีงมีความน่าจะเป็นเท่ากันคือ $1/2^{n}$

ถ้าจำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อยในการโยนเหรียญทั้งหมด 10 ครั้ง หมายความว่าเราโยนได้หัว 5 ครั้ง และโยนได้ก้อย 5 ครั้ง

ผลลัพธ์ที่มีเหรียญออกหัว 5 ครั้งและออกก้อย 5 ครั้งมีทั้งหมด ${10 \choose 5}\,$ ผลลัพธ์ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ได้จำนวนหัวจะเท่ากับจำนวนก้อยคือ ${\frac {1}{2^{n}}}{10 \choose 5}\,$

ข้อย่อย 2

ให้ A เป็นเซตของผลลัพธ์การโยนเหรียญทั้งหมด

B เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนหัวมากกว่าจำนวนก้อย

C เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนก้อยมากกว่าจำนวนหัว

D เป็นเซตของผลลัพธ์ที่มีจำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อย แล้วได้จำนวนหัวเท่ากับจำนวนก้อย

เนื่องจาก $A=B\cup C\cup D\,$ และ $B,C,D$ ไม่มีส่วนร่วมกันเป็นคู่ๆ เราได้ว่า $1=\Pr(A)=\Pr(B)+\Pr(C)+\Pr(D)$

จากข้อ 1 เราทราบว่า $\Pr(D)={\frac {1}{2^{10}}}{10 \choose 5}$

พิจารณาเซต $B\,$ และ $C\,$ เราจะแสดงว่า $|B|=|C|\,$

นิยามฟังก์ชัน $f:B\rightarrow C\,$ ดังต่อไปนี้ $f\,$ เปลี่ยนหัวเป็นก้อยและเปลี่ยนก้อยเป็นหัว (เช่น $f(HHTTHHTHTH)=TTHHTTHTHT\,$) เห็นได้อย่างชัดเจนว่า $f\,$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง ฉะนั้น $|B|=|C|\,$

เนื่องจากสมาชิกทุกตัวในแซมเปิลสเปซของโจทย์ข้อนี้มีความน่าจะเป็นเท่ากัน (ดูข้อ 1) เราได้ว่า $\Pr(B)=\Pr(C)$

ฉะนั้น เราได้ว่า $1=\Pr(B)+\Pr(C)+\Pr(D)=2\Pr(B)+\Pr(D)\,$ ฉะนั้น $\Pr(B)={\frac {1-\Pr(D)}{2}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2^{11}}}{10 \choose 5}$

ข้อย่อย 3

ผลลัพธ์ที่การโยนเหรียญครั้งที่ i และการโยนเหรียญครั้งที่ 11-i มีหน้าที่ออกเหมือนกัน สำหรับ 1=1,2,3,4,5 ก็คือ ครั้งที่ 1 และครั้งที่ 10 เหมือนกัน, ครั้งที่ 2 และครั้งที่ 9 เหมือนกัน, ครั้งที่ 3 และครั้งที่ 8 เหมือนกัน, ครั้งที่ 4 และครั้งที่ 7 เหมือนกัน, ครั้งที่ 5 และครั้งที่ 6 เหมือนกัน ยกตัวอย่างเช่น HTTHTTHTTH หรือ TTHHTTHHTT (พูดแบบไม่เป็นทางการคือ อ่านจากหน้าไปหลังหรือหลังไปหน้าก็เหมือนกัน)

ผลลัพธ์ลักษณะข้างบนมีอยู่ $2^{5}\,$ แบบ เนื่องจากเมื่อเรากำหนดผลลัพธ์ของการโยนเหรียญครั้งที่ 1, 2, ..., 5 แล้ว เราก็ทราบผลลัพธ์ของการโยนเหรียญที่เหลืออีก 5 ครั้งโดยปริยาย

ฉะนั้นความน่าจะเป็นที่จะโยนเหรียญได้ผลลัพธ์ทีมีเงื่อนไขตามโจทย์ คือ ${\frac {2^{5}}{2^{1}0}}={\frac {1}{2^{5}}}$